Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Приведённые примеры показывают, что о пределе частного двух бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что имеет место

неопределённость вида 11 : А раскрыть

неопределённость вида 11 означает: в каждом конкретном случае, в зависимости

от заданных бесконечно больших последовательностей (xn) и (yn), решить вопрос о пре-

деле последовательности yxnn .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём

8n 2 N; yn 6= 0:

Определение 36. Говорят, что бесконечно большие числовые последовательности (xn)

и (yn) одного порядка роста, если

9h1; h2 2 R и N 2 N такие, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 18. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём

8n 2 N; yn 6= 0:

Если lim yxnn конечен и отличен от нуля, то последовательности (xn) и (yn) бесконечно большие одного порядка роста.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из выделенного синим цветом, в силу определения 36, следует утверждение теоремы.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 37. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём 8n 2 N; yn 6= 0:

Если lim yxnn равен нулю, то говорят, что последовательность (yn) бесконечно большая более высокого порядка роста, чем последовательность (xn) (или последовательность (xn) бесконечно большая более низкого порядка роста, чем последовательность (yn)).

Тот факт, что последовательность (xn) бесконечно большая более низкого порядка

роста, чем последовательность (yn) записывают так: xn yn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 38. Пусть (xn) и (yn) бесконечно большие числовые последовательности, причём 8n 2 N; yn 6= 0:

Если lim yxnn = 1, то говорят, что последовательности (xn) и (yn) эквивалентные и пишут xn yn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть a 2 R; a > 1 произвольное.

Определение 39. Последовательности вида:

(ln ln n) ; (ln n) ; (n) ; (an) ; (n!) ; (nn)

назовем образующими.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Можно показать, что 8k; l; m; r; s; i; j; p; q 2 N

имеет место шкала порядков роста последовательностей:

k r i

(ln ln n)m (ln n)s nj

(an)qp n! nn

(2.3)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 40. Если последовательность (zn) можно представить в виде произведения образующей последовательности в рациональной степени и ограниченной отделимой от нуля последовательности, то образующую последовательность в рациональной степени назовём доминантой последовательности

(zn) (от лат. dominantis - важнейшая часть чего либо).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit