Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Из леммы 2 следует, что если предел последовательности не равен нулю, то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности отличны от нуля.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 35. Последовательность (xn) называется отделимой от нуля, если 9K > 0 и 9N = N(K) 2 N такие, что

8n > N : jxnj > K:

Из леммы 2 следует, что если

lim xn = a 2 R n f0g;

то последовательность (xn) отделима от нуля.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Лемма 3. Если lim xn = a 2 Rnf0g и все члены последовательности отличны от ну-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

yn 6= 0 и b 6= 0; то последовательность

нию пределов последовательностей (xn)

и (yn):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

конечно малая (по теореме 11). Тогда, в силу теоремы 7, получаем, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.7.О неопределённостях.

При рассмотрении теорем о пределах мы не рассматривали последовательности стремя-

щиеся к бесконечности, а также случай, когда при отыскании предела частного последовательность, стоящая в знаменателе, сходится к нулю.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 15. Если xn ! 1 и yn ! 1, то

xn + yn ! 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit