Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Следствие 11.2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малая последовательность – сходящаяся последовательность.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следствие 11.3. Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказать самостоятельно методом математической индукции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.6.Теоремы о пределах.

Теорема 12. Сумма двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен сумме пределов слагаемых.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Верно ли утверждение:

Если последовательность (xn + yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) сходится последовательность (yn)?

Нет, не верное. Пример:

Последовательности xn = (-1)n + n1 и

yn = (-1)n+1 расходятся, а последовательность xn + yn = n1 ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 13. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящиеся последовательность, её предел равен произведению пределов сомножителей.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство.

Пусть xn ! a 2 R и yn ! b 2 R:

Покажем, что lim(xn yn) = a b:

9

(xn ! a) =7) (xn = a + n; n ! 0) = =) (yn ! b) =7) (yn = b + n; n ! 0) ;

xn yn = (a b) + (b n + a n + n n);

119

n ! 0; n ! 0 =)

xn yn = (a b) + n;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следствие 13.1. lim (C xn) = C lim xn:

Замечание. Верно ли утверждение:

Если последовательность (xn yn) сходится, то сходится последовательность (xn) и (или) сходится последовательность (yn)?

Нет, не верное.

тельность xn yn = 1 ! 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Лемма 2. Если lim xn = a 2 R n f0g; то существуют числа K > 0 и N = N(K) 2 N такие, что 8n > N : jxnj > K:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

jaj

Доказательство. Положим K = 2 :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit