Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
Пример 14p. Показать, что последовательность xn = n n! бесконечно большая.
Решение. Так как
p1
n n!
бесконечно малая
последовательность (см. пример 9), то, в си-
|
n |
|
|
лу теоремы 8, |
pn! |
бесконечно большая по- |
|
следовательность.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 15. Показать, что последователь-
(-1)n
ность n = n2 бесконечно малая.
Решение. Так как (-1)nn2 бесконечно
большая последовательность (см. пример
(-1)n
12), то, в силу теоремы 8, 2 бесконечно малая последовательность. n
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2.2.4.Операции над числовыми последовательностями.
Пусть заданы две последовательности
(xn); (yn); xn; yn 2 R.
Определение 33. Суммой и произведением
двух последовательностей (xn); (yn) называются последовательности
(xn + yn); (xn yn):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 34. Частным двух последовательностей (xn); (yn); 8n 2 N : yn 6= 0; называется последовательность
xn : yn
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2.2.5.Теоремы о бесконечно малых числовых
последовательностях.
Теорема 9. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( n |
|
|
0; n |
|
|
0) =? |
|
( n + n |
|
0) : |
|
|
|
|
|
|
|||||
Фиксируем произвольное " > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
опр.28 |
9N1 |
= N1(") 2 N такое, что |
|
|
|
: j nj < 2" |
|
||||||||||
( n |
|
|
0) |
= |
|
n > N1 |
= |
||||||||||||||
( n |
! |
0) |
= |
|
|
N2 |
= N2(") |
2 |
N такое, что |
n > N2 |
: j nj < 2 |
|
|||||||||
|
|
) |
9 |
! |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
" |
|
) |
|||||
|
|
! |
опр.28 |
|
|
) |
|
8! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
! |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9N = |
|
fN1; N2g |
|
такое, что 8n > N : j nj < |
2 |
; j nj < |
2 |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
" |
|
10:13 |
|
|
8 |
|
|
max |
|
|
|
|
|
j nj + j nj< ") : |
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( |
n > N : j n + nj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что ( n+ n) бесконечно малая последовательность. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 10. Сумма любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Теорема 10 доказывается методом математической индукции. Доказать самостоятельно. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 11. Произведение ограниченной (xn) и бесконечно малой ( n) последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
Фиксируем произвольное " > 0. Тогда
опр.23
((xn) - ограниченная) ()
(9M 2 R такое, что 8n 2 N : jxnj M)
и
9 |
! |
|
опр.28 |
|
|
|
|
|
|
" |
|
||||
0) |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( n |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
||
N = N(") 2 N т.ч. 8n > N : j nj < |
|
= |
|||||||||||||
M |
|
||||||||||||||
|
|
|
: |
jx |
|
j |
j |
j |
j |
j |
< M |
|
|
|
|
n > N |
|
|
|
|
" : |
||||||||||
8 |
|
|
|
n |
n |
= |
xn |
|
n |
|
M = ) |
||||
Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что (xn n) бесконечно ма-
лая последовательность.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следствие 11.1. Произведение сходящейся и бесконечно малой последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
В силу теоремы 4 каждая сходящаяся последовательность ограничена.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit