Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Достаточность.

?

(xn = a + n; n ! 0) =)

опр.24

(xn ! a) ()

(8" > 0 9N = N(") 2 N т.ч. 8n > N : jxn - aj < ") :

Фиксируем произвольное " > 0 .

(xn = a + n; n ! 0) ()

опр.28

( n = xn - a; n ! 0) =)

(9N = N(") 2 N т.ч. 8n > N : j nj = jxn - aj < ") :

Из выделенного синим цветом следует, по определению 24, что xn ! a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.2.Бесконечно большие числовые последовательности.

Определение 29. Последовательность (xn), xn 2 R; стремится к бесконечности, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N : jxnj > ":

Тот факт, что (xn); xn 2 R; стремится к бесконечности, будем кратко записывать так:

lim xn = 1 или xn ! 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 30. Последовательность (xn), xn 2 R; стремится к “плюс бесконечности”, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что

8n > N : xn > ":

Тот факт, что (xn); xn 2 R; стремится к плюс бесконечности, будем кратко записывать так:

lim xn = +1 или xn ! +1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 31. Последовательность (xn), xn 2 R; стремится к “минус бесконечности”, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что

8n > N : xn < -":

Тот факт, что (xn); xn 2 R; стремится к ми-

нус бесконечности, будем кратко записывать так:

lim xn = -1 или xn ! -1:

Замечание.

Если lim xn = 1 или lim xn = 1; то (xn) расходится.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 32. Последовательность (xn); xn 2 R; называется бесконечно большой, если она стремится к 1 или +1 или -1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 12. Показать, что lim (-1)nn2 = 1:

Пример 13. Показать, что lim nn = +1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.2.1. Доказать, по определению, что последовательность бесконечно большая.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.3. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми числовыми последовательностями.

Теорема 8. Если последовательность ( n),n 2 R; бесконечно малая и все её члены отличны от нуля, то последовательность (xn), xn = 1n; бесконечно большая. И наоборот, если (xn), xn 2 R; бесконечно большая и 8n 2 N : xn 6= 0; то последовательность ( n), n = x1n; бесконечно малая.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

(8" > 0 9N = N(") 2 N т.ч. 8n > N : j nj < ":)

Фиксируем произвольное "0 > 0:

определению 24, что n ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit