Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Выбор функции '(n); удовлетворяющей условиям 1 - 3, не является однозначным. Это, как правило, довольно трудный шаг при

решении таких примеров.

Можно взять '(n) = n15; '(n) = n14;

'(n) = n13; '(n) = n12; '(n) = n1 ; '(n) = n+1 1

и так далее.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

hi

3.N2("0) = "10 + 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 7. Показать, чтоp8a 2 R; a > 1; последовательность xn = n a сходится к единице.

Пример 8. Показать, что последовательность p

xn = n n сходится к единице.

Пример 9. Показать, что последовательность

ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Доказать по определению

1

lim nk

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 6. Если xn ! a, то jxnj ! jaj:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство.

? опр.24

(xn ! a) =) (jxnj ! jaj) ()

(8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N : jjxnj - jajj < "):

Фиксируем произвольное " > 0 .

опр.24

(xn ! a) =)

10:15

(9N = N(") 2 N такое, что 8n > N : jxn - aj < ") =)

определению 24, что jxnj ! jaj:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Верно ли утверждение:

?

(jxnj ! jaj) =) (xn ! a):

Нет, не верное.

Пример: xn = (-1)n-1: Последовательность (xn) расходится (см. пример 4), а последовательность (jxnj); jxnj = 1; очевидно, сходится к единице.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.1.Бесконечно малые числовые последовательности.

Определение 27. Последовательность (xn), xn 2 R; называется бесконечно малой, если

lim xn = 0:

Определение 28. Последовательность (xn), xn 2 R; называется бесконечно малой, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N : jxnj < ":

Общие члены бесконечно малых последовательностей будем обозначать буквами греческого алфавита, например, n; n; n; : : : :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 10. Показать, что 8q 2 R; jqj < 1; последовательность n = qn бесконечно малая.

Пример 11. Показать, что 8b 2 R; b > 1; последовательность n = bnn бесконечно малая.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 7. Для того чтобы последовательность (xn); xn 2 R; сходилась к числу a, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

xn = a + n; где n ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Необходимость.

?

(xn ! a) =) (xn = a + n; где n ! 0) :

Разность xn - a, обозначим n; то есть

xn - a := n:

Покажем, что ( n ! 0): Фиксируем произвольное " > 0.

опр.24

(xn ! a) =)

обоз.

(9N = N(") 2 N т.ч. 8n > N : jxn - aj < ") =) (8n > N : j nj < ") :

Из выделенного синим цветом следует, по определению 28, что n ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit