Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Из теоремы 5 следует, что нахож-

нахождению пределов k числовых последо-

вательностей in ; in 2 R; i = 1; 2; : : : ; k:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.Числовые последовательности.

Напомним, что если x; y 2 R, то

d(x; y) = jx - yj:

Определение 24. Последовательность (xn), xn 2 R, сходится к числу a, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что

8n > N : jxn - aj < ":

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

8n > N : xn 2 U"(a):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 26. Последовательность (xn), xn 2 R, сходится к числу a, если

вне любой U"(a) находится лишь конечное число точек последовательности (xn):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 6. Показать, что последовательность

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Что нужно показать?

8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N :

!

Фиксируем произвольное "0 > 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение задачи состоит в том, что нужно указать число N0 = N("0) 2 N такое, что

Это означает, что нужно построить интервал (N0; +1) ; все натуральные числа которого являются решениями неравенства

1

n5 + 4n + 1 < "0:

При этом число N0 может изначально выбрано сколь угодно большим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следует обратить внимание на то, что мы не

ходим множества всех тех и только тех значений n 2 N; для которых оно верно. Нас интересует только существование подмножества решений неравенства < "0; для которого бесконечно удалённая точка является предельной. Построение же этого подмножества решений значительно проще чем нахождение всех решение неравенства.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

думать, создать) функцию '(n) натурального аргумента, удовлетворяющую следующим условиям:

'(n) < "0;

3. Все натуральные числа некоторого интервала (N2("0); +1) являются решениями неравенства '(n) < "0; т.е. бесконечно удалённая точка являетсяпредельнойточкой множества решений неравенства '(n) < "0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Полагая N0 = N("0) = maxfN1; N2("0)g мы

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit