Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

8.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 15515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Теорема 4. Каждая сходящаяся последовательность в Rk ограничена.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Пусть xn

x0 2 Rk

и фиксируем "0 = 1. Тогда

(xn

опр. 18

x0) =

N "

0) 2 N такое, что 8

n > N

< "

Св-во 4

(9 0 =

(

: d(x0; xn) !

8n > N0 : d(0; xn) d(0; x0) + d(x0; xn) < d(0; x0) +)

Положим

M = max

d 0

; d 0 x ); : : :

( ;

1:): : ;(d(;0;2xN

); d(0; x0) + 1 :

Следовательно, 8n 2 N :

d(0; xn) M:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 5. Показать, что последовательность

xn = 1 + n1 ограниченная.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:

xn = 1 +

= 1+n

1 n(n - 1) 1 n(n - 1)(n - 2) 1

1 2 n2

1 2 3

n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]

1 2 3 k

n(n - 1)(n - 2) [n - (n - 1)]

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

= 1+1+ 2!		1 - n +						3! 1 - n 1 - n													+ +
1		1					1					1						2
+ k! 1 - n 1 - n 1 -																n				+ +
	1		1			2									k - 1

+ n! 1 - n 1 - n												1 -						n			<
1		1					2										n - 1
					1		1							1
< 1 + 1 +							+					+ +						<
< 1 + 1 +					2!		+			3!		+ +				n!		<
		1					1				+ +			1
< 1 + 1 +					+														=
< 1 + 1 +				2	+				22						2n-1				=
		10:8									1 -		1							1
		10:8									1 -		n							1
		= 1 +										2		< 1 +								= 3:
		= 1 +												< 1 +								= 3:
							1 - 1											1 -			1
												2									2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Очевидно, что
1		n
8n 2 N : 0 < xn = 1 +		:
	n

Итак, мы показали существование числа

M = 3 такого, что		1 + n
8n 2 N : jxnj =		1 + n	n	< 3;
		1	n


т.е. последовательность	xn ограниченная				.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Лемма 1. Пусть x = 1; 2; : : : ; k T ;

y = 1; 2; : : : ; k T 2 Rk произвольные точки. Тогда

max

- d(x; y);

(2.1)j

1 j k

max

d(x; y) k

1 j k

(2.2)

Доказать лемму самостоятельно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 5. Пусть даны		последователь-
ность (xn), xn = n1 ; n2 ;T: : : ; nk T				2 Rk и
	n		сходится к
точка x0 = 01; 02; : : : ; 0k			2 Rk.
Последовательность	(x )

точке x0 тогда, и только тогда, когда

1n ! 10; 2n ! 20; : : : ; kn ! k0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Необходимость.

(xn ! x0) =)? 1n ! 10; 2n ! 20; : : : ; kn ! k0

Фиксируем " > 0 и j 2 f1; 2; : : : ; kg:

					x0)		опр.18
				(xn	x0)		=
9					!n)		(2.1)
	= (		:	( 0;			)
	= (	) 2 N такое, что 8	:	( 0;			)
(	N N "	n > N		d x x		< ") =

8n > N : 1 i k	n - 0				< " =
max		i	j	i	j

8
	n > N :	n - 0
	n > N :	n - 0	< "):

Из выделенного синим цветом следует, по определению 18, что jn ! j0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Достаточность.

1n ! 10; 2n ! 20; : : : ; kn ! k0

Фиксируем произвольное " > 0.

( 1	!	1)	опр.18
( 1		1)	=
n		0
( n2			опр.18
( n2		02) =)
k	!	k	опр.)18
( n	!	0)	=)

9N1 = N1(")		2 N такое, что	8n > N1
9:N::2:=:::N:	2:(:":):	2:::N::такое,:::::::что:::::	8::n::>::N::2
9Nk = Nk(") 2 N такое, что			8n > Nk