Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Глава 10

СПРАВКА

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

10.1. Метод математической индукции

Математическая индукция - метод доказательства математических утверждений, основанный

на принципе математической индукции: утверждение p(n), зависящее от натурального

параметра n, считается доказанным для всех n k0; где k0 – фиксированное натуральное число, если доказано p(k0) и для любого натурального n k0 из предположения, что верно p(n), выведено, что верно также p(n + 1).

Продолжение на следующей странице.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство p(k0) составляет первый шаг индукции.

Предположение, что верно утверждение p(n); n k0 составляет второй шаг индукции.

Доказательство p(n + 1) в предположении, что верно p(n); n k0, составляет третий шаг индукции и называется индукционным переходом. При этом n называется параметром индукции, а предположение p(n) при доказательстве p(n + 1) называется индукционным предположением.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

10.2.Бином Ньютона

Для всех a; b 2 R и n 2 N имеет место формула бинома Ньютона

элементов по k), k! = 1 2 : : : k; причём полагают, что 0! = 1:

Доказывать формулу бинома Ньютона будем методом математической индукции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При n = 1 имеем

(a+b)1 = X1 Ci1a1-ibi = 01!1!!a+11!0!!b = a+b:

i=0

Покажем, что из предположения справедливости формулы бинома Ньютона для n следует, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В самом деле

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Используя соотношения

C0n+1 = Cnn++11 = 1;

(10.1)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

окончательно имеем

(a + b)n+1 =

Xn

= an+1 + Cin+1an+1-ibi + bn+1 = i=1

nX+1

= Cin+1an+1-ibi: i=0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для всех натуральных n > 2 имеет место нера-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit