Решение. По теореме 124 имеем:
dt |
|
|
3t2 |
|
d(g f)(t) |
= |
ex-2y; -2ex-2y |
|
cos t |
= |
|
|
|
= esin t-2t3 cos t - 6t2 :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Случай 2. Пусть n; k - произвольные, m = 1.
|
|
|
( |
@(g f) |
|
) |
(x) = |
|
|
= |
1 |
@2g |
@ x1;x2;:::;xn |
|
@ f1 |
;f2;:::;fn |
(x) = |
k |
|
(f(x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@(y |
;y ;:::;y |
) |
@(x ;x |
;:::;x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
= |
@y1 |
@y2 |
@yk |
|
|
@g(f(x)) |
@g(f(x)) |
|
@g(f(x)) |
|
@f1(x)
B @x1
B
B @f2(x)
B
B @x1
B
B .
B
B
@ @fk(x)
@x1
@f1(x) |
|
|
|
@f1(x) |
@x2 |
|
|
@xn |
|
|
@f2(x) |
|
|
|
@f2(x) |
@x2 |
|
|
@xn |
|
|
. |
|
. |
. |
|
|
@fk(x) |
|
@fk(x) |
@x2 |
|
|
@xn |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 135. Заданы отображение
f(t) = |
y(u; v) |
= |
u sin v |
|
x(u; v) |
|
u cos v |
и функция g(x; y) = x2y - y2x: Вычислить матрицу Якоби композиции g f:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. По теореме 124 имеем: |
|
|
|
@(g f) |
(u; v) = |
|
|
|
|
@ (u; v) |
|
|
sin v u cos v |
|
= |
= |
2xy - y2; x2 - 2xy |
|
|
|
|
|
cos v -u sin v |
|
|
|
3u2 |
sin |
|
|
|
= |
|
v cos v(cos v - sin v); |
|
: |
|
|
|
|
u3(sin v + cos v)(1 - 3 sin v cos v) |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
7.4. Дифференцирование обратного отображения.
Теорема 125. Пусть
f = (f1; f2; : : : ; fn)T : U"(x) ! U (y)
отображает " - окрестность U"(x) Rn
на |
|
- окрестность U (y) Rn точки |
y |
= |
f(x). Пусть f непрерывнов точке x = |
(x1; x2; : : : ; xn)T и имеетобратное отображение
g : U (y) |
|
U"(x); |
|
непрерывноев точке |
y = (y1; y2; : : : ; yn)T |
. |
|
! |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если при этом отображение f дифференцируемо
вточке x и матрица Якоби
@f1;f2;:::;fn
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
имеет |
обратную |
( |
1 |
2 |
n |
) |
|
|
|
;x |
|
;:::;x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ f ;f ;:::;f |
|
(x) |
|
, |
то |
обратное |
отображе- |
|
|
|
1 2 n |
|
|
|
|
@(x ;x ;:::;x |
) |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
ние g : U (y) |
|
U"(x) дифференцируемов точке |
|
y |
|
|
справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
0@ f1; f2; : : : ; fn |
-1 |
|
|
|
@ g1; g2; : : : ; gn |
|
(y) = |
(x)1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
@ y |
; y ; : : : ; y |
|
|
B@ x |
; x ; : : : ; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Глава 8
ИНСТРУМЕНТЫ
Окно Тренажёра - Инструмента состоит из трёх подокон (см. Рис. 8.1). Окно статической информации отображает ход ра-
боты пользователя с тренажером (полученное задание, математические выкладки, ответ задачи и т.д.). Окно взаимодействия с пользователем отображает текущую подзадачу и содержит соответствующие инструменты для её решения и элементы управления для ввода ответа этой подзадачи. Окно реплик содержит промежуточную информацию, которую необходимо передать поль-
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Рис. 8.1. Окно Тренажёра - Инструмента
зователю в ходе работы с окном интерактивного взаимодействия и содержит в себе что-то лишь по мере необходимости. Для работы на тренажере - инструменте необходимо задать начальные условия, которые могут быть начальными условиями аналогичной задачи из Вашей контрольной работы, любые Вами придуманные исходные данные, или данные, сгенерированные
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Рис. 8.2. Поля ввода параметров
самим тренажером. Воспользовавшись полями ввода целых чисел, Вы можете ввести свои исходные данные, и нажать кнопку <Ок>, или сгенерировать случайные данные по кнопке <Генерировать> (см. Рис. 8.2). Наиболее простые задачи могут решаться за один шаг. В этом случае в окне статической информации Вам будет сформулирован вопрос и в окне интерактивного взаимодействия будет предложено ответить на него. Ответ на вопрос может быть задан в виде строки, числа, формулы или простого выбора согласия. Для каждого из типов вопросов предусмотрены свои собственные элементы управления.
В окне реплик тренажер выдает некоторую вспомогательную информацию, необходимую по ходу решения задачи. Это может
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
быть, например, подтверждение правильности введенного ответа или указание, почему введенный ответ неправильный.
В более сложных задачах шагов решения может быть несколько. Каждый из шагов решения аналогичен решению простой (одношаговой) задачи. В окне статической информации при этом формируется ход решения задачи от начальной формулировки до окончательного ее решения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
