Доказательство. Равенство (7.1) равносильно k равенствам:
fi(x0; x) = ai1 x1 + ai2 x2 +
+ ain xn + o ( x) ; i = 1; 2; : : : ; k; (7.2) при x ! 0:
Каждое же из равенств (7.2) означает, в силу определения 152, дифференцируемость соответствующей координатной функции в точке x0: 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда, в силу теоремы 123 и формул (6.2), (7.1), для отображения
f = (f1; f2; : : : ; fk)T : E ! Rk; E Rn;
дифференцируемого во внутренней точке x 2 E этого множества, можно выписать координатное представление дифференциала df(x) в виде
0 1
df1(x)
B df2(x) C df(x) = B C B . C @ A
dfk(x)
или
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
0 |
|
@x(1 ) |
|
|
@x(2 ) |
|
B |
@f1 |
|
x |
|
@f1 |
|
x |
|
|
@f2(x) |
|
|
@f2(x) |
|
df(x) = |
B |
|
@x |
|
|
|
|
@x |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B . . |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
k |
|
|
|
|
|
k |
(x) |
|
B |
@f |
(x) @f |
|
B |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
@x |
|
|
|
|
@x |
|
|
@f1(x) @xn
@f2(x) @xn
.
@fk(x) @xn
|
1 |
0 |
x1 |
1 |
|
C B |
C |
|
x2 |
|
C B |
|
|
C |
|
C B |
|
|
C |
|
C |
B |
. |
|
C |
|
C B |
|
C |
|
C B |
|
|
C |
|
C B |
|
|
C |
|
C B |
x |
n C |
|
C B |
|
C |
|
C B |
|
|
C |
|
A @ |
|
|
A |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
|
|
|
|
@ f1;f2;:::;fk |
|
Определение 170. Матрица |
|
|
(x) из |
@ x1;x2;:::;xn |
( |
) |
|
частных производныхкоординатных |
функций |
данного отображения в точке x 2 E называется
матрицей Якоби отображения в этой точке, то есть
|
|
|
0 |
@x(1 ) |
|
|
|
B |
@f1 |
|
x |
@ f1; f2; : : : ; fk |
@f2(x) |
|
1 |
1 2 |
n (x) := |
B |
@x |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
@ x ; x ; : : : ; x |
|
|
|
|
|
|
|
|
B . |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
k |
(x) |
|
|
|
B |
@f |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
B |
@x |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
@f1(x)
@x2
@f2(x)
@x2
.
@fk(x)
@x2
1
@f1(x) @xn C
C
@f2(x) C
C
@xn C
C
C
.C C
C
@fk(x) A @xn
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 133. Построить матрицу Якоби отображения
f1(x; y)
f(x; y) = B f2(x; y) C = B @ A @
f3(x; y)
1
xy ln(x + y)
xxy C:
A
xy2
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. По определению 170 имеем:
@f1; f2; f3
|
(x; y) = |
|
|
|
|
@ (x; y) |
x ln(x + y) + x+y 1 |
|
|
|
|
|
|
0 y ln(x + y) + x+y |
|
|
|
|
xy |
|
|
xy |
|
= B xxyxy-1(y ln x |
+ 1 |
) |
xyxxy ln2 x |
C |
: |
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
y |
2 |
|
|
2xy |
C |
|
B |
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
7.3. Дифференцирование композиции отображений.
Теорема 124. Если отображение
f = (f1; f2; : : : ; fk)T : X ! Y
множества X Rn в множество Y Rk диф-
ференцируемово внутреннейточке
x = (x1; x2; : : : ; xn)T 2 X, а отображение
g = (g1; g2; : : : ; gm)T : Y ! Rm
дифференцируемово внутреннейточке y = (f1(x); f2(x); : : : ; fk(x))T 2 Y, то
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
композиция g f : X ! Rm этих отображений дифференцируема в точке x, причём
@ (g f)1;(g f)2;:::;(g f)m @(x1;x2;:::;xn) (x) =
@ g1;g2;:::;gm |
@ f1;f2;:::;fk |
= @(y1;y2;:::;yk) (f(x)) @(x1;x2;:::;xn)(x):
(7.3)
Доказательство этой теоремы почти полно-
стью повторяет доказательство теоремы 76 и поэтому мы его опустим.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
dfk(x) dx
df1(x) dx
Случай 1.
Пусть n = 1; k - произвольное, m = 1.
|
d(g f)(x) |
= |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(x) = |
= @(y1;y2;:::;yk) (f(x)) |
|
dx |
|
@g |
|
@ |
f1;f2;:::;fk |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
= |
@y1 |
|
@y2 |
@yk |
|
|
@g(f(x)) |
|
@g(f(x)) |
|
@g(f(x)) |
|
BC
Bdf2(x) C
B dx C:
B. C
BC
@A
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
Пример 134. Заданы отображение
f(t) = |
x(t) |
sin t |
y(t) |
= |
|
t3 |
и функция g(x; y) = ex-2y: Вычислить матрицу Якоби композиции g f:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
