Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Из теоремы 120 следует, что точка экстремума функции f является либо её стационарной точкой либо в этой точке функция f не дифференцируема.

Замечание. Обратите внимание на то, что равенства (6.27) равносильны rf(x0) = 0 и дают лишь необходимые, но недостаточные условия экстремума функции многих переменных.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ГРАДИЕНТ Вектор градиента rf отложен от точки M(a; b) контурного графика функции двух переменных f. Перемещая точку M(a; b) по контурному графику функции f Вы видите как изменяется величина и направление вектора rf.

В некоторых точках длина вектора rf очень мала и для того чтобы увидеть его направление в этих точках нажмите кнопку “normalize”. При нажатой кнопке “normalize” от точки M(a; b) контурного графика функции f откладывается орт вектора rf. Обратите внимание, что rf очень мал вблизи “вершин” и “на дне ям” (точки подозрительные на экстремум). При этом малые перемещения точки M(a; b) приводят к резкой смене направления вектора rf, часто на противоположное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 130. Найти стационарные точки функции f(x; y) = xy и исследовать их характер.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Очевидно, что dom f = R2: Для всех точек (x; y) 2 R2:

@x@ (xy) = y; @y@ (xy) = x:

В силу теоремы 120, координаты стационар- ных точек удовлетворяют системе уравнений:

@ (xy) = y = 0

@x (6.28)

@y@ (xy) = x = 0:

Единственным решением системы (6.28) является точка O(0; 0):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Покажем, что точка O(0; 0) не является точкой экстремума функции f:

Так как f(0; 0) = 0; а в любой сколь угодно малой окрестности точки O(0; 0) имеются точки, где f(x; y) = xy > 0; и точки, где f(x; y) = xy < 0; то точка O(0; 0) не является ни точкой максимума ни точкой минимума функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.10.2.Достаточные условия экстремума функции многих

переменных.

Пусть задана функция f : A ! R; A Rn; и x0 - внутренняя точка множества A.

Теорема 121. Пусть внутренняя точка

x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 )T 2 A является стационарной точкой функции f : A ! R; A

Rn; и существует U"(x0) такая, что все частные производные функции f до второго порядка включительно определены и непрерывны в U"(x0) A.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если квадратичная форма

1. знакопостоянная, то в точке x0 функция f имеет экстремум, который является строгим минимумом, если квадратичная форма (6.29) положительно определена, и строгим макси- мумом, если она отрицательно определена; 2. может принимать значения разных знаков, то в точке x0 функция f экстремума не имеет.

Доказательство этой теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание 1. После того как квадратичная форма (6.29) получена, исследование её определённости может быть проведено с помощью известного из курса алгебры критерия Сильвестра.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание 2. Теорема 121 ничего не говорит о случаи, когда квадратичная форма (6.29) полуопределенная, то есть неположительная и неотрицательная. Оказывается, в этом случае точка x0 может быть точкой экстремума, а может и не быть точкой экстремума функции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.10.3. Достаточные условия экстремума функции двух

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit