Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Замечание. Подчеркнём разницу в условиях существования формулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа (теоремы 118 и 119). Она состоит в том, что в теореме 118 n-кратная дифференцируемость функции f предполагается только в точке x = a, в то время как в теореме 119 требуется (n+1)-кратная дифференцируемость её в окрестности U"(a). Обратим внимание на то, что в случаи функции одной переменной n-кратная дифференцируемость функции f в точке x = a обеспечивает (n - 1)-кратную дифференцируемость её в окрестности, в m-мерном же пространстве это условие обеспечивает лишь существование в окрестности только частных производных до (n - 1) порядка включительно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.10. Экстремумы функций многих переменных.

точкой строгого минимума (строгого максимума) функции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 164. Внутренняя точка x0 2 A

называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или максимума.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 165. Внутренняя точка x0 2 A

называется точкой строгого экстремума функции f, если она является точкой стро- гого минимума или строгого максимума.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 166. Значение функции f в точке минимума (максимума) называется минимумом (максимумом) функции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 167. Значение функции f в точке строгого минимума (строгого максимума) называется строгим минимумом (строгим максимумом) функции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.10.1.Необходимые условия экстремума функции многих

переменных.

Теорема 120. Пусть задана функция

f: A ! R; A Rn; и внутренняя

точка x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 )T 2 A является точкой экстремума функции f.

Тогда, если в точке x0 существуют частные производные по каждой из переменных, то

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Фиксируем произвольное

i 2 f1; 2; 3; : : : ; ng и точку

xit = (x10; x20; : : : ; xi0-1; xi0+t; xi0+1; : : : ; xn0 )T 2 A:

Обозначим через 'i(t) = f(xit):

Пусть x0 – точка максимума функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 168. Внутренняя точка

x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 )T 2 A

называется стационарной точкой функции f, если

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit