Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Определение 159. Функция

f : E ! R; E Rn;

называется дважды дифференцируемой в точке x0 2 E; предельной для множества E; если все первые частные производные дифференцируемы в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 160. Функция f : E ! R; E

Rn; называется k раз дифференцируемой в точке x0 2 E; предельной для множества E; если все частные производные (k - 1)-го порядка являются функциями дифференцируемыми в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 117. (достаточное условие дифференцируемости). Для того чтобы функция f : E ! R; E Rn; была k раз дифференцируема в точке, достаточно, чтобы все частные производные порядка k были непрерывны в этой точке.

Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Частные производные первого порядка,

градиент. Производные по направлению.Частные производные высших порядков.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.9.Дифференциалы высших порядков.

Формула Тейлора.

Пусть функция f : E ! R; E Rm; дважды дифференцируема в точке a 2 E; предельной для множества E:

Определение 161. Выражение

называется вторым дифференциалом функции f в точке x = a.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если функция f : E ! R; E Rm; k раз дифференцируема в точке a 2 E; предельной для множества E; то

Определение 162. Выражение

называется k-тым дифференциалом функции f в точке x = a.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 118. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f : E ! R; E Rm; дифференцируема n раз во внутренней точке a 2 E: Тогда при x, стремящемся к a; имеет место формула

Доказательство этой теоремы в данном курсе

не рассматривается.

Равенство (6.23) представляет собой формулу Тейлора с остаточным в форме Пеано.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 119. (формула Тейлора с оста-

точным членом в форме Лагранжа). Пусть функция f : E -! R; E Rm;

имеет (n + 1)-й дифференциал для любого x 2 U"(a) E; где " - некоторое положительное число. Тогда для любой точки b 2 U"(a) существует точка c = a + (b - a); 0 < < 1; такая, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Фиксируем точку b 2

U"(a): Пусть g(t) = f (a + t(b - a)) : Функция g удовлетворяет условиям теоремы 85. Тогда по формуле Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа (теорема 85) имеем

где 0 < < 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как имеют место равенства

g(0) = f(a); g0(0) = df(a)jdx=b-a ; : : :

: : : g(n)(0) = d nf(a)jdx=b-a ; (6.26)

g(n+1)( ) = d n+1f(c) ;

dx=b-a

то, подставляя (6.26) в (6.25), получим равенство (6.24). Равенство (6.24) представляет собой формулу Тейлора с остаточным в форме Лагранжа.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit