6.7.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть задана поверхность S : F(x; y; z) = 0 и точка M0(x0; y0; z0) 2 S. Обозначим прямоугольник
D := (x; y) 2 R2 |
|
x0 - < x < x0 + ; |
|
; |
y0 - < y < y0 + |
|
|
|
|
|
и параллелепипед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B := (x; y; z) 2 R3 j (x; y) 2 D; z0 - < z < z0 + :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть в некоторой U"(M0) существуют
непрерывные частные производные @F |
; @F |
; @F |
|
|
|
@x |
@y |
@z |
и |
@F(M |
) |
6= 0. |
|
|
0 |
|
|
|
@z |
|
|
|
Тогда, в силу теоремы 115, в параллелепипеде B U"(M0) уравнение F(x; y; z) = 0 задаёт неявно функцию f : D (z0 - ; z0 + ), к
графику которой можно провести касатель- |
ную плоскость в точке |
!0 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
k : z - f(x0; y0) = |
|
|
|
= |
@f(x0; y0) |
(y - y0) + |
@f(x0; y0) |
(x - x0): |
|
|
|
@y |
|
@x |
|
|
|
|
(6.22) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Учитывая пункты 2 и 3 теоремы 115, уравнение (6.22) касательной плоскости к поверхно-
сти S : F(x; y; z) = 0 в точке M0(x0; y0; z0) 2 S
можно записать в виде
@F(M0) |
@F(M0) |
|
@F(M0) |
k : |
|
|
(x - x0) + |
|
|
(y - y0) + |
|
(z - z0) = 0: |
@x |
@y |
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда геометрический вектор
n~ = |
@x 0 |
; |
@y 0 |
; |
@y 0 |
|
? k |
|
@F(M |
) @F(M |
) @F(M |
) |
|
(нормальный вектор плоскости k).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Канонические уравнения нормали N к по-
верхности S в точке M0(x0; y0; z0) 2 S имеют вид
N : |
|
x - x0 |
= |
y - y0 |
= |
|
z - z0 |
: |
|
@F(M0) |
|
@F(M0) |
|
@F(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
@y |
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 129. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
S: F(x; y; z) = 2x2 + y2 + 4z2 - 7 = 0
вточке M0(1; 1; -1) 2 S:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. dom F = R3: Найдём частные производные
|
@F(x; y; z) |
= 4x; |
@F(1; 1; -1) |
= 4; |
|
|
@x |
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F(x; y; z) |
= 2y; |
@F(1; 1; -1) |
= 2; |
|
|
@y |
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F(x; y; z) |
= 8z; |
@F(1; 1; -1) |
= -8: |
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Уравнение касательной плоскости
K : 4(x - 1) + 2(y - 1) - 8(z + 1) = 0
или
K: 2x + y - 4z - 7 = 0
иуравнение нормали
N : x - 1 = y - 1 = z + 1 4 2 -8
или
N : x - 1 = y - 1 = z + 1: 2 1 -4
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.8. Частные производные высшего порядка.
Если функция f : E ! R; E Rn; имеет част-
@f(x)
ную производную @xi по одной из переменных
x1; x2; : : : ; xn в каждой точке множества E, то эта частная производная вновь является функцией @x@fi : E ! R, которая тоже может иметь частную
производную |
@ |
@f(x) |
по переменной xj. Функ- |
@xj |
|
@xi |
|
|
|
|
ция |
@ |
|
@f |
: E R называется второй произ- |
j |
i |
|
@x |
|
@x |
водной от функции f по переменным xi; xj и
|
|
2 |
x |
|
|
обозначается |
@ |
f(!) |
|
; i; j = 1; 2; : : : ; n: |
|
@xj@xi |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Частные
производные, в которые входит дифференцирование по различным переменным называются смешанными.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 116. Смешанные частные производные любого порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывные в "- окрестности некоторой точки, равны в этой точке между собой.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
