Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Учитывая пункты 5 и 6 теоремы 114, уравнение (6.21) касательной к кривой L : F(x; y) =

0 в точке M0(x0; y0) 2 L можно записать в виде

Тогда геометрический вектор

(нормальный вектор прямой K).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Каноническое уравнение нормали N к кривой L в точке M0(x0; y0) 2 L имеет вид

N : x - x0 = y - y0:

@F(M0) @F(M0)

@x @y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 128. Написать уравнения касательной и нормали к кривой

L: F(x; y) = x3 + y4 - 3xy - 3 = 0

вточке M0(2; 1) 2 L:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. dom F = R2: Найдём частные производные

Уравнение касательной

K: 9(x - 2) - 2(y - 1) = 0

иуравнение нормали

N : x -9 2 = y--21:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.7.4. Неявно заданные функции двух переменных.

Пусть задана поверхность S : F(x; y; z) = 0 и точка M0(x0; y0; z0) 2 S. Рассмотрим некоторый прямо-

B := (x; y; z) 2 R3j(x; y) 2 D; z0 - < z < z0 + :

Часть поверхности S, попавшую в параллелепипед B, обозначим через SB:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если поверхность SB удовлетворяет условию, что всякая прямая параллельная оси Oz пересекает поверхность SB не более чем в одной точке, то поверхность SB является графиком некоторой функции

f : D ! (z0 - ; z0 + );

которая называется функцией неявно заданной уравнением F(x; y; z) = 0 в области

B.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если f : D ! (z0 - ; z0 + ) задана неявно уравнением F(x; y; z) = 0 в области B, то

8(x; y) 2 D : F (x; y; f(x; y)) 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.7.5. Частные производные неявно заданной функции двух переменных.

Пусть задана поверхность S : F(x; y; z) = 0 и точка M0(x0; y0; z0) 2 S. Рассмотрим некоторый пря-

B := (x; y; z) 2 R3 j (x; y) 2 D; z0 - < z < z0 + :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 115. Пусть задана поверхность

S : F(x; y; z) = 0 и точка M0(x0; y0; z0) 2 S. Если функция F определена и непрерыв-

на вместе со своими частными произ- водными @x@F; @y@F; @F@z в некоторой U"(M0) и

@F(M0) 6= 0, то:

@z

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. в некоторой области B U"(M0) уравнение F(x; y; z) = 0 задаётнеявно функцию

f : D ! (z0 - ; z0 + );

2.f(x0; y0) = z0;

3.на множестве D функция f непрерывнаи име-

ет непрерывныечастные производные, причём

8(x; y) 2 D:

Доказательство теоремы в данном курсе не рассматривается.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit