Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Теорема 113. Пусть задана функция

f : E ! R; E R2; и M0(x0; y0) внутренняя точка множества E.

Если в точке N0 (x0; y0; f(x0; y0)) 2 можно провести касательную плос-

кость, то функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0; y0) 2 E:

Доказательство теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По виду уравнения (6.15) касательной плоскости к поверхности S; являющейся графиком функции f; в точке N0 2 S; легко написать канонические уравнения нормали в точке N0 (x0; y0; f(x0; y0)):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Поверхности – графики всюду дифференцируемых квадратичных функций двух переменных. Выбор точки на поверхности производится движками “x0” и “y0”.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 127. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции

q

f(x; y) = 25 - x2 - y2 p

в точке N0(2; 3; 2 3):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. dom f = f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 25g:

Найдём частные производные

непрерывны в точке M0(x0; y0) и в некоторой её окрестности. Тогда, в силу теоремы 110, функция f дифференцируема в точке M0(2; 3); т.е. данная поверхность имеет в точке N0 касательную плоскость и нормаль (см. теорему 112).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Уравнение касательной плоскости

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.6.2.Геометрический смысл дифференциала функции

двух переменных.

Пусть задана функция f : E ! R; E R2; и M0(x0; y0) внутренняя точка множества E.

Тогда точка N0 (x0; y0; f(x0; y0)) лежит на поверхности S := graff.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0; y0) 2 E, то

q

+ o (x - x0)2 + (y - y0)2

при (x; y) ! (x0; y0): (6.19)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Сравнивая равенства (6.19) и (6.15), видим, что:

график нашей функции вблизи точки

N0 (x0; y0; f(x0; y0)) хорошо аппроксимируется касательной плоскостью (6.15);

дифференциал df(x0; y0) функции f в точке M0(x0; y0) 2 E геометрически обозначает приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности, являющейся графиком функции, в точке

N0 (x0; y0; f(x0; y0)) при переходе из точки

M0(x0; y0) 2 E в точку M(x; y) 2 E.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.7.Неявно заданные функции.

Вэтом разделе излагается ещё один способ задания функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit