Из определения 157 следует, что у поверхности в данной точке либо есть и тогда только одна касательная плоскость, либо её нет совсем.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 158. Прямая, проходящая через точку N0 2 S и ортогональная касательной плоскости к поверхности S в точке N0, называется нормалью к поверхности S в точке N0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОР-
МАЛЬ 
На иллюстрации показаны касательная плос-
кость и нормаль в фиксированной точке
N0 (x0; y0; f(x0; y0)) 2 graf f. Точку N0 можно перемещать на поверхности движками “x” и
“y”. На иллюстрации изображены также линии пересечения поверхности с плоскостями x = x0 и y = y0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.6.1.Касательная плоскость и нормаль к графику
функции двух переменных.
Пусть задана функция f : E ! R; E R2; и M0(x0; y0) внутренняя точка множества E.
Тогда точка N0 (x0; y0; f(x0; y0)) лежит на поверхности S := graff.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 112. Если функция f дифференцируема во внутренней точке M0(x0; y0) 2
E; то в точке N0 (x0; y0; f(x0; y0)) 2 graff
можно провести касательную плоскостьk, причём уравнение этой касательной плоскости имеет вид
k : z - f(x0; y0) = |
|
|
= |
@f(x0; y0) |
(x - x0) + |
@f(x0; y0) |
(y - y0): |
|
|
|
@x |
@y |
|
|
|
(6.15) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Фиксируем произвольную последовательность
(Nn); Nn 2 graff и Nn ! N0; N0 2 graff:
Обозначим через 'n угол между секущей N0Nn и плоскостью (6.15). Покажем, что sin 'n ! 0; что равносильно, 'n ! 0: Этим будет доказано, что плоскость (6.15), в силу определения 157, является касательной к graff в точке N0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Опустим из точки Nn перпендикуляр NnKn на плоскость (6.15) и перпендикуляры NnMn
и N0M0 на координатную плоскость xOy: Пусть Nn(x0 + xn; y0 + yn; zn) 2 k – точка пересечения перпендикуляра NnMn с плос-
костью (6.15) (см. рис. 6.2). Очевидно, что
|
jNnKnj |
|
jNnN j |
|
(6.16) |
|
|
|
|
n |
|
jN0Nnj jM0Mnj: |
|
|
Тогда \'n = \KnN0Nn и |
|
|
|
j sin 'nj = |
jNnKnj |
(6:16) |
jNnNnj |
|
(6.17) |
|
|
< |
|
: |
jN0Nnj |
jM0Mnj |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Проведём вспомогательные вычисления:
q
|
|
jM0Mnj = ( xn)2 + ( yn)2 = n; |
(Nn |
! |
N0) =5 |
( xn |
|
0; yn |
! |
0) = |
|
|
) |
|
|
!+ ) |
|
! |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( n |
|
0); |
jN |
N j = jf(x + x |
; y y |
n |
|
- z j = |
n |
|
|
0 |
n |
|
0 |
|
|
|
|
Nn |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
=jf(x0 + xn; y0 + yn) - f(x0; y0) -
-fx0 (x0; y0) xn - fy0 (x0; y0) ynj =
=j f((x0; y0); ( xn; yn)) - fx0 (x0; y0) xn-
-fy0 (x0; y0) ynj
(6.18)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так функция f дифференцируема в точке M0(x0; y0); то, в силу (6.18), последовательность jNnNnj будет бесконечно малой последовательностью более высокого порядка, чемn; то есть
lim jNnNnj = 0: jM0Mnj
Тогда, в силу (6.17),
lim j sin 'nj = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
