Пример |
126 Найти градиент и производ- |
|
|
~ |
~ ~ |
~ |
ную по направлению a = 2{ - | + k в точке |
M |
(0; 1; |
) функции f(x; y) = sin3 |
(xy2 + z): |
0 |
|
4 |
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y;z) |
|
@ |
( sin3 ( xy2 |
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
) ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
@x |
@x |
)x0 = |
|
|
|
|
= 3 sin2 (xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) ( xy2 |
+ |
|
|
z |
|
|
|
= 3 sin2 |
(xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) ( |
|
(x)x0 + |
|
x0 ) = |
|
y2 |
|
z |
|
|
|
|
|
= 3 sin2 |
(xy2 |
+ z) cos (xy2 |
+ z) y2 1 + 0 |
Аналогично находим частные производные по переменным y и
z: Найдите самостоятельно и только потом
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
Пример126 |
Найтиградиенти производную |
по |
на- |
|
|
|
~ |
~ ~ |
~ |
|
функции |
|
правлению a = 2{ - | + k в точке M0(0;1; 4) |
|
f(x;y) = sin3 (xy2 + z): |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначалачаст- |
|
ные производныефункции |
|
|
|
f в произвольной точке domf: |
|
@f(x;y;z |
) |
= |
@ |
|
( sin3 ( xy2 |
+ |
|
|
) ) = 3sin2 (xy2 + z)cos (xy2 + z) y2 |
|
z |
|
|
@x |
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
@f(x;y;z |
) |
= |
@ |
|
( sin3 ( |
xy2+ |
|
) ) = 3sin2 (xy2 + z)cos (xy2 + z) |
|
|
z |
|
|
@y |
|
@y |
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y;z |
) |
|
@ |
( sin3 ( |
|
+z ) ) = 3sin2 (xy2 + z)cos (xy2 + z) 1: |
|
|
= |
xy2 |
|
|
@z |
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите значения частных производных в заданной точке M0(0;-1; 4) и только по- |
|
|
|
том |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример126 Найтиградиенти производную по на-
~ ~ ~ ~
правлению a = 2{ - | + k в точке M0(0; 1; 4) функции f(x; y) = sin3 (xy2 + z):
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала
частные производныефункции |
|
|
|
f |
|
в произвольной |
точке domf; а потом в точке M0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y;z) |
= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) y2 |
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 = 3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
1 = 3 2; |
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
cos 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
@f(x;y;z) |
|
sin2 |
|
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
(xy |
|
+ z) |
|
(xy + z) 2xy |
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
sin2 |
|
|
|
|
|
0 = 3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
4 |
cos 4 |
|
22 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y;z) |
|
sin2 |
|
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
(xy |
|
+ z) |
|
(xy + z) 1: |
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M ) |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
3 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
= 3 |
|
2 |
4 cos 4 |
1 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
4 |
|
: |
@z |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
Запишите координаты градиента функции в данной точке M0(0; -1; 4) и только потом
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
p !
3 2
4
Пример126 Найтиградиенти производную по на-
~ ~ ~ ~
правлению a = 2{ - | + k в точке M0(0; 1; 4) функции f(x; y) = sin3 (xy2 + z):
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производныефункции f в произвольной точке domf; а потом вычислим их значения в данной
точке. |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
@f(M |
) |
|
@f(M |
) |
|
|
|
0 |
|
|
= 3 2 |
; |
|
0 |
|
= 0; |
|
0 |
|
= 3 2 |
: |
@x |
|
|
@y |
|
@z |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
p
3 2 rf(M0) = 4 ; 0;
Найдите координатыорта вектора
~ ~ ~ ~
a = 2{ - | + k = (2; -1; 1) и только потом Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример126 Найтиградиенти производную по на-
~ ~ ~ ~
правлению a = 2{ - | + k в точке M0(0; 1; 4) функции f(x; y) = sin3 (xy2 + z):
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производныефункции f в произвольной точке domf; а потом вычислим их значения в данной
точке. |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
|
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
3 2, |
|
|
|
|
0 |
|
|
= 0, |
|
|
0 |
|
|
= |
3 2. |
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
rf(M0) = |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
; a~0 = |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
; 0; |
|
|
4 |
|
|
|
p |
|
; p |
|
; p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
Найдите |
производную функции f в точке M |
|
по на- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлению вектора a = 2{ - | + k = (2; -1; 1) и только |
потом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу. |
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример |
126 Найти градиент и производ- |
|
|
~ |
~ ~ |
~ |
ную по направлению a = 2{ - | + k в точке |
M |
(0; 1; |
) функции f(x; y) = sin3 |
(xy2 + z): |
0 |
|
4 |
|
|
Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf; а потом
вычислим |
их |
|
значения |
в |
|
данной |
точке. |
@f(M |
) |
|
p |
|
|
|
@f(M |
|
) |
|
|
|
|
@f(M |
) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= 3 2 |
; |
|
|
|
|
0 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= |
3 2 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
rf(M0) = |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3 2 |
|
; a~0 = |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
; 0; |
|
|
4 |
|
|
|
|
p |
|
; p |
|
|
; p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
6 |
|
|
|
формуле (6.13) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) 3 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
-1 3 2 |
1 |
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
p |
|
|
+ 0 |
p |
|
+ |
|
|
|
|
|
p |
|
|
= |
|
|
|
|
: |
|
|
@a~ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.6.Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
Пусть N0 - некоторая точка данной поверхности S (см. рис. 6.1). Возьмём на этой поверхности любую другую точку N, отличную от
точки N0.
Определение 156. Прямая, проходящая через точки N0; N 2 S; N 6= N0; называется секущей поверхности S.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 157. Плоскость, проходящая через точку N0 2 S, называется касательной плоскостью к поверхности S в точке
N0, если для каждой последовательности точек (Nn; n 2 N) ; Nn 2 S, сходящейся к точке N0 2 S, угол между секущей N0Nn и этой плоскостью стремится к нулю.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Из определения 157 и определения 118 касательной к кривой следует, что касательная плоскость, проходящая через точку N0 2 S, содержит касательные ко всем кривым, проходящим через точку N0 2 S и лежащим на поверхности S.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
