Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

ГРАДИЕНТ Единичный вектор u задаёт направление на плоскости. Это направление можно изменить мышкой с нажатой левой кнопкой.

Мышкой с нажатой левой кнопкой выберите на планшете “point=(,)” точку, в которой будет вычислена производная по направлению u (см. справа от планшета). В этой же точке считается градиент функции и его модуль.

Фиксируя точку изменяйте направление вектора u и следите за значениями производной по направлению.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ГРАДИЕНТ

Вектор градиента rf отложен от точки M(a; b) контурного графика функции двух переменных f. Перемещая точку M(a; b) по контурному графику функции f Вы видите как изменяется величина и направление вектора rf.

В некоторых точках длина вектора rf очень мала и для того чтобы увидеть его направление в этих точках нажмите кнопку “normalize”. При нажатой кнопке “normalize” от точки M(a; b)

контурного графика функции f откладывается орт вектора rf. Обратите внимание, что rf очень мал вблизи “вершин” и “на дне ям”. При этом малые перемещения точки M(a; b) приводят к резкой смене направления вектора rf, часто на противоположное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 124. Найти производную по направлению ~{ = (1; 0) в точке M0(0; 0) функции

q

f(x; y) = + x2 + y2:

Решение. Очевидно, что domf = R2: Возьмём произвольную точку Mt(t; 0) 2 R2; t > 0 и найдём

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Так как

ет, а, следовательно, в силу теоремы 109,

p

функция f(x; y) = + x2 + y2 не дифференцируемая в точке M0(0; 0) и значит для вы-

числения @f(M0) нельзя использовать форму-

@~{

лу (6.13).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 125. Найти градиент и производную по направлению a~ = 2~{ +~| в точке M0(-1; 2)

функции f(x; y) = 5x2y3:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 126. Найти градиент и производную

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf:

@f(x;y;z) = ? @x

переменной x; при этом с остальными переменными обращаемся как с константами. Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f: Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

M0(0; 1; 4) функции f(x; y) = sin3 (xy2 + z):

Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf:

= 3 sin2 (xy2 + z) cos (xy2 + z) ( xy2+ z)x0

Используем два правила:

1.производная от суммы равна сумме производных;

2.константа выносится за знак производной.

В результате получим:

Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Очевидно, что domf = R3: Найдём сначала частные производные функции f в произвольной точке domf:

Запишем конечный результат: Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit