Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
Пример 1. Показать, что последовательность
xn = n1
сходится к числу 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Фиксируем произвольное "0 > 0: Решение задачи состоит в нахождении числа N("0) 2 N такого, что 8n > N("0):
d(0; xn) = n - 0 |
< "0: |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следовательно, число |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
N("0) = 8"01; |
если "10 |
2 N; |
|
|
<h"0i + 1; |
если "0 |
2= N |
является |
наименьшим натуральным числом, |
||
: |
|
|
|
удовлетворяющим условию: |
|
||
|
1 |
|
|
|
8n > N("0) : n |
< "0: |
|
Решения неравенства x1 < "0; x 2 R |
|
||
1 |
– решения неравенства n1 < "0; n 2 N |
||
"0 |
|||
|
Рис. 2.1. Выбор числа N("0) 2 N: |
|
|
|
First Prev Next |
Last Go Back Full Screen Close Quit |
|
Заметим, что для решения задачи нам не обя- |
||||||||||||||||
зательно выбирать самое маленькое из мно- |
||||||||||||||||
жества |
n 2 N j n > |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
"0 |
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
N(" ) = 1 + 5 или N(" ) = |
h |
|
|
|
i+ 100: |
или |
||||||||||
10 |
||||||||||||||||
Итак, |
положим |
N("0) = |
" |
|
|
|
+ 1 |
|||||||||
0 |
h"0i |
0 |
h1 |
0i |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
" |
|
- 0 < "0: |
|||||||||||
Тогда 8n > N("0) : d(0; xn) = |
n |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из выделенного синим цветом следует, по определению 18, что последовательность
n1 сходится к 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тот факт, что (xn); xn 2 Rk, сходится к
точке x0 2 Rk, будем кратко записывать так: lim xn = x0 или xn ! x0:
Здесь lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes - предел. Стрелка ! заменяет слова “сходится” или “стремится”.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 2. Показать, что число 1 не является пределом последовательности xn = (-1)n-1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. |
S |
Число 1 является пределом последовательности xn = (-1)n-1, если вне каждой U"(1) находится лишь конечное число точек последовательности (xn):
Число 1 не является пределом последовательности xn = (-1)n-1, если существует U"(1), вне которой находится бесконечно много точек последовательности (xn):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Возьмём " |
0 |
= 1 |
: |
S |
|
2 |
|
|
Тогда вне U"0(1) лежат все члены после-
довательности с чётными номерами, т.е.
бесконечное множество членов последовательности.
Итак, мы построили U"0(1); вне которой на-
ходится бесконечное множество членов последовательности xn = (-1)n-1:
Следовательно, в силу определения 20, число
1 не является пределом данной последовательности.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 3. Показать, что число (-1) не яв-
ляется пределом последовательности xn = (-1)n-1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. |
S |
Число -1 является пределом последовательности xn = (-1)n-1, если вне каждой U"(-1) находится лишь конечное число точек последовательности (xn):
Число -1 не является пределом последовательности xn = (-1)n-1, если существует U"(-1), вне которой находится бесконечно много точек последовательности (xn):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit