|
|
|
~ |
|
a~ |
|
~ |
|
|
|
= ja~j – орт вектора |
Обозначим через a0 |
a: |
|
|
|
|
|
~ |
|
Запишем координаты вектора a0 : |
|
a~0 = ja~1j |
; ja~2j |
; ja~3j |
= (cos ; cos ; cos ): |
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда
|
|
0 |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
0 |
|
|
a~) |
|
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
@f(M |
|
) |
154 |
|
f(M |
|
+ t |
|
- f(M |
) |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
t 0+ |
|
|
|
|
|
|
|
j~j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@a |
|
lim |
|
1 |
|
|
t a |
|
0 + |
|
3) - |
( |
|
0) = |
|
= |
|
f(!0 + |
|
|
0 + |
|
2 |
|
ta |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ta |
;y |
ta ;z |
|
|
|
f M |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
j~j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
= |
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = jua~j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
f(x0 + ucos ;y0 + ucos ;z0 + ucos ) - f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
j |
~ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
@f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@a~0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
@a~0
Замечание 1. Пусть задан геометрический вектор a~ и a~0 орт геометрического вектора
a~. Тогда
@f(M0) = @f(M0): @a~
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема |
111. Если |
функция |
f : E |
|
R, |
E R3; дифференцируемая во внутрен- |
ней точке M |
(x |
; y ; z ) E; то для любого |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
2 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
единичного вектора l |
= (cos ; cos ; cos ) |
существует |
@f(M |
) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) |
|
|
|
@f(M0) |
|
@f(M0) |
|
|
= |
|
|
|
|
cos + |
|
|
|
|
cos + |
|
|
cos : |
|
@x |
|
|
|
|
@y |
@z |
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Дадим приращение каждой координате точки M0 специальным способом:
x = t cos ; y = t cos ; z = t cos ; t > 0:
Выбираем t таким, чтобы точка
Mt(x0 + t cos ; y0 + t cos ; z0 + t cos ) 2 E:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда
(f дифференцируемаяв точке M |
|
107 |
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
f(M0 + tl~) - f(M0) = |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
@f(M0) |
t cos + |
|
@f(M0) |
t cos + |
|
+ |
|
@x |
|
|
|
@y |
|
|
|
@z |
0 |
|
t cos + o(t); при t |
|
|
0 + |
= |
|
|
|
@f(M |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
- f (M0) |
|
|
|
|
|
lim |
f |
M0 + t l |
|
|
|
|
|
|
|
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
@l~ |
|
|
|
! |
0+ |
|
|
|
|
t j~lj |
|
@z |
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
@f(M0) |
|
cos + |
@f(M0) |
|
cos |
|
@f(M0) |
|
|
cos |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Щелкните мышкой по кнопке
“show gradient rf”.
Единичный вектор u задаёт направление на плоскости. Это направление можно изменить мышкой с нажатой левой кнопкой.
Мышкой с нажатой левой кнопкой выберите на планшете “point=(,)” точку, в которой будет вычислена производная по направлению u (см. справа от планшета).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 155. Геометрический вектор
rf(M0) := |
(@x 0) |
; |
@y 0 |
; |
@z 0 |
|
|
@f M |
|
@f(M |
) |
@f(M |
) |
называется градиентом функции f в точке
M0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда, для дифференцируемой во внутренней точке M0 функции f; имеем
@f(M0) = (a~0; rf(M0)) =
@a~
= jrf(M0)j cos (a~0 ^rf(M0)); (6.13)
где a~0 орт вектора a:~
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Заметим, что @f(M0) определяет скорость
@a~
изменения функции f по направлению a~. Из (6.13) следует, что геометрический вектор rf(M0) указывает направление, в котором наибольшая скорость изменения функции f в точке M0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
