Из условия непрерывности частных произ-
водных |
@f(x;y) |
; |
@f(x;y) |
в точке M0 получаем: |
|
@x |
|
|
|
|
@y |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
0 |
x; y |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
() |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f( |
) |
непрерывнав точке |
M0 |
53 |
|
|
|
|
@x |
|
|
( x; y) (0;0) |
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
= |
@x |
|
! |
|
|
|
|
@f(x + x; y + y) |
@f(x ; y ) |
28 |
! |
|
@f |
(x0+ 1 x;y0+ y) |
= |
@f(x0 |
;y0) |
+ ( x; |
y()); |
|
|
|
|
где 1( x; y) |
|
|
0 при ( x; y) |
|
(0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
! |
|
@x |
1 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.9) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
и
lim |
|
x; y |
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
|
() |
@f( |
|
|
|
|
) |
непрерывнав точке |
M0 |
53 |
@y |
|
|
|
( x; y) (0;0) |
|
|
@y |
|
|
= |
@y |
! |
|
|
|
@f(x ; y + y) |
|
@f(x ; y ) |
28 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
() |
@f(x0;y0+ 2 y)
@y
где 2( x; y)
= |
@f(x0;y0) |
+ ( x; y); |
|
|
0 при ( x; y) |
|
(0; 0) |
! |
@y |
2 |
! |
|
|
|
(6.10) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда, подставляя (6.7), (6.9) и (6.8), (6.10) в (6.6), получим:
|
|
|
f (M0; ( x; y)) = |
= |
@f(x0; y0) |
x + |
@f(x0; y0) |
y+ |
@x |
|
@y |
|
+ 1( x; y) x + 2( x; y) y;
где 1( x; y) ! 0 и 2( x; y) ! 0 при ( x; y) ! (0; 0):
(6.11)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Покажем, |
что ( x; y) |
есть бесконеч- |
но малая |
|
более высокого |
порядка |
чем |
q |
|
; то есть |
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
( x; y) |
|
|
(6.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;0) q( x)2 + ( y)2 |
= 0 |
|
( x; y) |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Соотношение (6.12) следует из оценок:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
( x; y) |
|
|
|
6:11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x; y |
) |
|
x + ( x; y) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1( |
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)2 |
+ ( y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1( x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2( x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1( x; y)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j 2( x; y)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
|
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y j |
+ |
j x; y |
j ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1( x; p) |
2( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
так как |
|
|
|
j xj |
1 и |
|
|
|
|
|
|
j yj |
|
|
|
|
1: |
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
( x)2 + ( y)2 |
( x)2 + ( y)2 |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, мы показали, что
|
|
|
|
|
f (M0; ( x; y)) = |
= |
@f(x0; y0) |
x + |
@f(x0; y0) |
y + o(( x; y)); |
@x |
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
при ( x; y) (0; 0); |
!
то есть функция f дифференцируема в точке M0: 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Из теоремы 110 следует, что если частные производные функции f : E ! R непрерывны в области E Rn, то функция f дифференцируема в любой точке этой области.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.5.Производная по направлению.
Фиксируем декартову систему координат
~ ~ ~
(O; {; |; k) в пространстве V3 и ненулевой геометрический вектор a~ = (a1; a2; a3). Пусть задана f : E ! R; E R3 и внутренняя точка
M0(x0; y0; z0) 2 E.
При достаточно малых t 2 R, t > 0; точка
Mt(x0 + ta1; y0 + ta2; z0 + ta3) 2 E. Обозначим
Mt(x0 + ta1; y0 + ta2; z0 + ta3) M0 + t a:~
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение |
|
|
154. Если |
существует конеч- |
ный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
lim |
f (M0 + t a) - f (M0) |
; |
|
|
t |
0+ |
|
|
|
|
|
|
t |
j~j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
производной |
|
|
предел называется |
то этот |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
функции f в точке M0 по направлению a |
и обозначается |
|
@f(M0) |
, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@a~ |
|
|
|
|
|
@f(M0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
:= |
|
|
lim |
f (M0 + t a) - f (M0) |
: |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
t |
|
|
|
0+ |
|
|
t |
j~j |
|
@a |
|
|
! |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Направление в пространстве удобно задавать единичным геометрическим вектором, координаты которого направляющие косинусы:
~
l = (cos ; cos ; cos ):
Покажем, что если существует @f(@aM~ 0); то она
не зависит от длины фиксированного геометрического вектора a:~
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
