Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференцируемости функции в точке в многомерном случае такое же как и в одномерном.
Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных производных и дифференциала. Для функции одной переменной наличие дифференциала и наличие производной у функции в точке были условиями равносильными.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 109. Если функция f : E !
R; E Rn; дифференцируема во внутренней точке x0 2 E, то в этой точке существуют частные производные функции f по каждой переменной.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
Фиксируем произвольное i 2 f1; 2; 3; : : : ; ng: Так как функция f дифференцируема во внутренней точке x0 2 E, то, в силу определения 152,
f(x0; xi) = ai xi + o( xi);
при xi ! 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Откуда следует, что |
|
|
|
|
f(x0; xi) |
o( xi) |
|
|
|
= ai + |
|
|
|
xi |
xi |
|
|
и
f(x0; xi)
lim xi = ai;
xi!0
то есть, в силу определения 153,
ai = @f(xi0): @x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обратное утверждение не имеет места.
Пример 123. Функция
f(x; y) =
0; если xy = 0; 1; если xy =6 0;
равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0; 0) обе частные производные равные нулю. Но эта функция недифференцируема в точке (0; 0), так как она разрывна в этой точке (см. теорему 108).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.4. Достаточные условия дифференцируемости функции в
|
|
|
точке. |
Пусть задана f |
: E |
|
R; E Rn; и x0 = |
. |
|
внутренняя точка множества |
x1; x2; : : : ; xn |
0 0 |
0 |
|
! |
|
E
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 110. Если функция f : E R; E
Rn; имеет в каждой точке некоторой
" |
- |
окрестности |
|
внутренней |
точки |
x |
|
|
|
|
! |
|
0 |
множества E все частные производные |
|
@f(x) |
; |
@f(x) |
; : : : ; |
@f(x) |
, то из их непрерывно- |
|
|
|
n |
|
@x1 |
|
|
@x2 |
@x |
следует дифференцируе- |
сти в точке x0 |
мость функции f в этой точке.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Идею доказательства покажем для функции двух переменных.
Пусть точка |
M0(x0; y0) 2 E внутренняяточка и |
функция f : |
E |
R имеет частные производные |
|
@f(x;y) |
; |
@f(x;y) |
в каждой точке некоторой "- окрест- |
|
@x |
@y |
|
ности точки M |
!непрерывныев точке |
M |
: Пусть, |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
далее, точка M(x0 + x; y0 + y) 2 U"(M0): Запишем приращение функции f в виде:
|
f (M0; ( x; y)) |
опр. |
|
|
= |
|
= f(x0 |
+ x; y0 + y) - f(x0; y0) = |
(6.6) |
|
|
|
=[f(x0 + x; y0 + y) - f(x0; y0 + y)] +
+[f(x0; y0 + y) - f(x0; y0)] :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обозначим
f(x; y0 + y) = '(x) и f(x0; y) = (y):
Преобразуем первое слагаемое из (6.6):
[f(x0 + x; y0 + y) - f(x0; y0 + y)] = |
|
|
|
|
80 |
|
= '(x0 + x) - '(x0) = |
|
|
|
|
6:4 |
|
= '0(x0 + 1 x) x = (6.7) |
= |
@f(x0 + 1 x; y0 |
+ y) |
x; |
@x |
|
|
где 0 1 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Преобразуем второе слагаемое из (6.6):
[f(x0; y0 + y) - f(x0; y0)] =
80
= (y0 + y) - (y0) =
|
|
|
6:5 |
(6.8) |
= |
0(y0 + 2 y) y = |
= |
@f(x0; y0 + 2 y) |
y; |
|
@y |
|
|
где 0 2 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
