Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
@x |
= @x@ 5x2y3 |
= |
(5x2y3 |
)x0 |
@f(x;y) |
|
шаг 1. |
|
|
|
|
|
x2 – степенная функция.
Шаг 2. Константы вынесем за знак производной.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
3 |
|
=2@x@ 5x2y3 |
= |
(5x2y3 |
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
|
|
|
шаг 1. |
|
|
|
|
|
шаг 2. |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
5y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Вычисляем производную от степенной функции.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x 3 |
|
=2@x шаг 3. |
|
3 = |
(5x |
y |
|
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
@ |
|
5x |
2 |
y |
3 |
|
шаг 1. |
|
|
2 |
|
3 |
|
шаг 2. |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5y |
= |
|
|
5y |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x0 |
|
= 2x – (см. пример 87). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y)
Шаг 4. Найдём частную производную @y : Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
@x |
3 |
=2@x |
шаг 3. |
|
3 = |
(5x |
y3 |
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
@ |
|
5x |
2 |
y |
3 |
шаг 1. |
|
|
2 |
3 |
|
|
шаг 2. |
= 5y |
x 0 |
= |
|
|
5y 2x = 10xy : |
|
|
x
|
@f(x;y) |
= |
@ |
5x2y3 = ? |
|
@y |
|
@y |
|
|
|
Шаг 5.При вычислении частной производной по y вычисляем обычную производную по переменной y; при этом с переменной x обращаемся как с константой. Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f:
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
3 |
|
=2@x |
шаг 3. |
|
|
3 = |
(5x |
y3 |
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
@ |
|
|
5x |
2 |
y |
3 |
шаг 1. |
|
|
2 |
3 |
|
|
шаг 2. |
= |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
|
5y |
2x = 10xy : |
|
|
|
@y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
(5x y )y0 |
|
|
|
|
= @y |
5x y |
|
|
|
@f(x;y) |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 5. |
|
|
|
|
|
|
|
y3 – это степенная функция.
Шаг 6. Константы вынесем за знак производной.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
|
@x |
3 |
|
=2@x |
шаг 3. |
|
|
3 = |
(5x |
y3 |
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
|
@ |
|
|
5x |
2 |
y |
3 |
шаг 1. |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
шаг 2. |
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
5y |
2x = 10xy : |
|
|
|
|
@y2 |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x;y) |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 5. |
( |
|
|
|
|
|
) |
шаг 6. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
5x y |
|
|
|
|
5x |
y |
|
|
= |
|
y |
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 7. Вычисляем производную от степенной функции.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
3 |
|
=2@x |
шаг 3. |
|
|
3 = |
(5x |
y3 |
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
|
@ |
|
|
|
|
2 3 |
|
шаг 1. |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
шаг 2. |
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
|
5x2y3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
5y |
2x = 10xy : |
|
|
|
@y |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 =2 |
(5x y |
|
|
)y0 |
= |
|
|
|
=3@y |
шаг 7. |
|
|
|
|
@f(x;y) |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
шаг 5. |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 6. |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5x |
|
= |
|
5x |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 y0 |
= 3y2 – (см. пример 87). |
|
Шаг 8. Записываем ответ. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 122 Найти частные производные
функции
f(x; y) = 5x2y3:
Решение.
|
@x |
3 |
|
=2@x |
шаг 3. |
|
|
3 = |
|
(5 |
|
3 |
|
)x0 |
= |
|
@f(x;y) |
@ |
|
|
|
|
2 3 |
|
шаг 1. |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
шаг 2. |
= |
|
|
|
|
|
0 |
|
5x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
5x2y3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
5y |
2x = 10xy : |
|
|
|
@y |
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 =2 |
(5x y2 |
)2y0 |
= |
|
|
|
=3@y |
шаг 7. |
|
|
@f(x;y) |
@ |
|
|
|
|
|
|
шаг 5. |
|
|
|
|
|
|
|
шаг 6. |
= |
|
|
y y0 |
= |
|
|
3y = 15x y : |
|
|
5x |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
5x2y3 = 10xy3; |
@ |
5x2y3 = 15x2y2: |
|
@x |
@y |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
6.3. Необходимые условия дифференцируемости функции в
точке.
Пусть задана f : E ! R; E Rn.
Теорема 108. Если функция f : E ! R; E
Rn; дифференцируема в предельной точке x0 2 E, то функция f непрерывна в этой точке.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
(f дифференцируема в точке x ) |
152 |
= |
f(x0; x) = a1 x1 + a2 x20+ ) |
|
x |
n |
+ o( x); при x |
0) = |
+ an |
|
|
|
x 0 |
( 0 ) |
! |
) |
|
|
|
lim |
f x ; x |
= 0 |
56 |
|
|
|
= |
|
|
|
! |
|
|
|
|
(f - непрерывна в точке x0):) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
