Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Тогда, в силу дифференцируемости функции f во внутренней точке x0 2 E; f(x0; xi) функции f можно представить в виде

f(x0; xi) = ai xi + o( xi);

при xi ! 0:

Это равенство означает, что если фиксиро-

вать в функции f(x1; : : : ; xn) все переменные, кроме одной i-й переменной, то получаемая при этом функция i-ой переменной оказыва-

ется дифференцируемой в точке xi.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 153. Если существует

f(x1; : : : ; xi-1; xi + xi; xi+1; : : : ; xn) - f(x1; : : : ; xn) limi xi ;

x !0

то он называется частной производной функции f в точке x0 = (x10; x20; : : : ; xn0 )T по переменной xi и обозначается одним из сим-

волов

@f(xi0); fx0i(x0): @x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 107. Если f : E ! R; E Rn;

дифференцируема во внутренней точке x0 2 E, то в этой точке функция f имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции одно-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Пусть f : E ! R; E Rn;

дифференцируема во внутренней точке x0 2 E. Тогда, в силу определения 152,

df(x0) = a1 x1 + a2 x2 + + an xn:

Фиксируем произвольное i 2 f1; 2; 3; : : : ; ng: Так как функция f : E ! R; E Rn; дифференцируема во внутренней точке x0 2 E, то, в силу определения 152,

f(x0; xi) = ai xi + o( xi);

при xi ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

и

f(x0; xi)

lim xi = ai;

xi!0

то есть, в силу определения 153,

ai = @f(xi0): @x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Учитывая, что dxi = xi; i = 1; 2; : : : ; n, формулу (6.2) можно переписать в виде

(6.3)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если в каждой точке x 2 D E существуют

частные производные @f@x(xi); i = 1; 2; : : : ; n; то они задают новые функции

@f : D ! R; D E Rn; i = 1; 2; : : : ; n: @xi

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Алгоритм вычисления частных производных. Пусть M0(x0; y0) 2 E точка в которой существу-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При вычислении частной производной по x вычисляем обычную производную по переменной x; при этом с переменной y обращаемся как с константой.

При вычислении частной производной по y вычисляем обычную производную по переменной y; при этом с переменной x обращаемся как с константой.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Шаг 1. При вычислении частной производной по x вычисляем обычную производную по переменной x; при этом с переменной y обращаемся как с константой.

Пометим цветными прямоугольниками константы формулы, задающей функцию f: Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit