Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

5.10.Построение графика функции.

Для наглядного описания функции очень часто используют её графическое представление. Как правило, такое представление бывает полезно для обсуждения качественных вопросов поведения исследуемой функции.

При этом график функции должен правильно отражать основные элементы поведения

функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При построении графика функции можно использовать следующую схему:

Если задана элементарная функция и не указана область определения функции, то найти её естественную область определения.

Отметить (если они есть) особенности функции (периодичность, чётность и нечётность, сохранение знака), найти точки пересечения графика функции с осями координат.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если граничные точки области определения функции принадлежат ей, то найти значения функции в этих точках, в противном случае – выяснить поведение функции при стремлении x к “граничным точкам” области её определения.

Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Найти асимптоты графика функции или убедится в их отсутствии.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика функции.

По результатам такого исследования строится график функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Исследование функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Глава 6

Дифференциальное исчисление функций

многих переменных

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 152. Функция f : E ! R; E

Rn; называется дифференцируемой в точке x0 2 E, предельной для множества E, если приращение f(x0; x) функции f можно представить в виде

f(x0; x) =

= a1 x1 + a2 x2 + + an xn + o( x);

при x ! 0: (6.1)

Выражение a1 x1 +a2 x2 + +an xn в

(6.1) называется дифференциалом функции f в точке x0 2 E и обозначается df(x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание 1. Функция f дифференцируема

вточке x0 2 E, если изменение её значений

вокрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки бесконечно малой по сравнению с величиной x смещения от

точки x0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

6.2. Частные производные функции в точке.

Пусть задана f : E ! R; E Rn; дифференцируемая во внутреннейточке x0 2 E. Дадим аргументу x приращение

T

x = 0; 0; : : : ; 0; xi; 0; : : : ; 0

так чтобы x0 + x 2 E: Обозначим

f(x0; xi) := f(x0 + x) - f(x0)

и будем называть частным приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргумента по координате xi.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit