Замечание 1. Функция f : (-1; +1) ! R
может иметь две различные асимптоты при x ! -1 и при x ! +1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если хотя бы один из пределов (5.39) [(5:40)] не существует или равен 1, то график функции f асимптоты при x ! -1 [x ! +1] не имеет.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121. Найти асимптоты графика функции
p
f(x) = x2 - 1:
Нарисовать эскиз графика функции f:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
p
f(x) = x2 - 1:
Нарисовать эскиз графика функции f:
Решение. |
p |
|
|
|
|
|
Шаг 1. Функция f(x) = |
x2 - 1 |
– элементарная функция |
и не указана область определения этой функции. Согласно со- |
глашению о области определения элементарных функций (см. |
раздел 3.7), функция f(x) = |
p |
|
определена в естествен- |
x2 - 1 |
ной области определения – dom f: Причём, в силу теоремы 66 о |
непрерывности элементарных функций, функция f(x) = p |
|
x2 - 1 |
непрерывна на dom f: |
|
|
|
|
|
|
Найдите dom f и перейдите на следующую |
страницу. |
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
|
|
|
f(x) = x2 - 1: |
|
Нарисовать эскиз |
графика функции f: |
|
p |
|
Решение. |
|
|
; -1] [1; + |
): |
Шаг 1. dom f = (- |
|
|
|
|
|
|
отрицательное для |
Подкоренное выражение S |
|
всех |
x |
2 (- |
) |
1 |
|
1 |
|
|
1; 1 : |
|
Шаг 2. Уравнение асимптоты графика функции при x ! -1 ищем в виде
П- : y = kx + b:
Найдите k:
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика
функции f(x) = |
x2 - 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать |
эскиз графика функции f: |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Шаг 1. dom f = (- |
|
|
|
|
; -1] |
|
[1; + ): |
|
Шаг 2. k = -1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
S |
|
|
|
|
1 |
|
В силу теоремы 105, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = x - |
p |
|
|
= |
|
|
|
= |
x - |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
jxj |
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x - 1 |
|
|
|
|
3:19:3 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - |
|
2 |
|
|
|
|
|
x - |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= lim |
-x |
1 |
|
x = - lim 1 - 1 |
= - 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Уравнение асимптоты графика функции при x ! -1 ищем в виде П- : y = -x + b: Найдите b:
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика
p
функции f(x) = x2 - 1.
Нарисовать эскиз графика функции f:
S
Решение. Шаг 1. dom f = (-1; -1] [1; +1):
Шаг 2. k = -1:
Шаг 3. b = 0; П- : y = -x:
В силу теоремы 105, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = x - |
p |
|
|
|
+ x |
= ( |
- |
) = x - |
px2-1-x = 0: |
x |
|
- 1 |
lim |
|
|
2 |
|
|
|
1 1 |
lim |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
Шаг 4. Уравнение асимптоты графика функции при x ! +1 ищем в виде П+ : y = kx + b:
Найдите k:
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример121 Найтиасимптотыграфика функции
p
f(x) = x2 - 1:
Нарисовать эскиз графика функции f:
S
Решение.Шаг 1. dom f = (-1; -1] [1; +1): Шаг 2. k = -1: Шаг 3. b = 0; П- : y = -x:
Шаг 4. k = 1:
В силу теоремы106,
k = x + |
p |
|
|
= |
1 |
= |
x + |
jxj |
|
q |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3:19:3 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x - 1 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
! 1 |
= x + |
|
q |
|
|
= x + |
r |
1 - |
|
2 = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
x |
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. Уравнение асимптоты графика функции при x ! +1 ищем в виде П+ : y = x + b: Найдите b:
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 121 Найти асимптоты графика функции
p
f(x) = x2 - 1:
Нарисовать эскиз графика функции f:
S
Решение. Шаг 1. dom f = (-1; -1] [1; +1):
Шаг 2. k = -1: Шаг 3. b = 0; П- : y = -x: Шаг 4. k = 1: Шаг 5. b = 0; П+ : y = x:
В силу теоремы 106, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = x + |
p |
|
|
|
- x |
= ( |
- |
) = x + |
px2-1+x = 0: |
x |
|
- 1 |
lim |
|
|
2 |
|
|
|
1 1 |
lim |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
Посмотрите график функции f на рис. 5.20.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
y |
|
0 |
x |
Рис. 5.20 Асимптоты графика функции f(x) = px2 - 1 |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
