Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Определение 15. Множество, все точки которого внутренние, называется открытым множеством.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 16. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым множеством.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 17. Множество D называется ограниченным, если 9" > 0 такое, что

D U"(0);

где 0 - нулевой элемент пространства Rn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Глава 2

Предел последовательности

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.1. Последовательности в арифметическом пространстве.

Пусть k 2 N фиксировано.

Если каждому n 2 N поставлена в соответствие точка xn 2 Rk; то будем говорить, что

в Rk задана последовательность точек,

или просто последовательность. Обозначение последовательности: fx1; x2; : : : ; xn; : : : ; g

или сокращенно:(xn): xn называют общим членом последовательности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Примеры последовательностей:

1. xn = n1 ; (xn); xn 2 R;

T

2. xn = n1 ; n12 ; (xn); xn 2 R2;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 18. Последовательность (xn), xn 2 Rk, сходится к точке x0 2 Rk, если

8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N:

d(x0; xn) < ":

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 19. Последовательность (xn), xn 2 Rk, сходится к точке x0 2 Rk, если

8U"(x0) 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N: xn 2 U"(x0):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 20. Последовательность (xn), xn 2 Rk, сходится к точке x0 2 Rk, если

вне каждой U"(x0) находится лишь конечное число точек последовательности (xn):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть задана последовательность (xn), xn 2 Rk. По отношению к ней можно поставить по крайней мере три следующих вопроса:

1.Существует ли точка в пространстве Rk к которой последовательность (xn); xn 2 Rk; сходится?

2.Если существует, то одна или много?

3.Если одна, то как её найти? Если много, то как их описать?

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit