Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Пример 116 Для функции

p p

f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1

найти:

2. точки подозрительные на экстремум функции f: Решение.

Шаг 1. dom f = R:

Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек

Приводим, далее, к общему знаменателю.

Шаг 4. Как быть с точками x0 = 0; x1 = -1; x2 = 1? Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1 найти: 2. точки подозрительные на экстремум функции f:

Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0; x1 = -1; x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.

В точках x0 = 0; x1 = -1; x2 = 1 производную функции f нужно находить по определению производной. Но для решения поставленной задачи знание производных функции f в этих точках не обязательно. Нам нужно исследовать поведение производной функции f в проколотых окрестностях этих точек.

Шаг 5. Найдите точки стационарности функции f: Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример116 Для функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1 найти:

Шаг 4.Отнесём точки x0 = 0; x1 = -1; x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1 найти: 3. интервалы монотонности функции f:

Решение. Шаг 1. dom f = R:

Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек

Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0, x1 = -1, x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.

p

1 ; 1 ; (1; 1) – интервалы монотонности функции f:

2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

непрерывна на этих интервалах. Так как точки, в которых f0(x) = 0; не принадлежат этим интервалам, то функция f0 сохраняет знак на каждом из этих интервалов.

Шаг 7. Определите знак функции f0 на каждом интервале монотонности функции f:

Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1 найти:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример 116 Для функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1 найти: 4. точки экстремума функции f:

Нарисуйте эскиз графика функции f: Решение. Шаг 1. dom f = R:

Шаг 2. Ответ на 1. Функция f непрерывна на dom f = R и точек

Шаг 4. Отнесём точки x0 = 0; x1 = -1; x2 = 1 к точкам подозрительным на экстремум.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

x = 1 – точки строгого максимума и

3;4 p

2

x0 = 0 – точка строгого минимума. Исследование каждой подозрительной на

экстремум точки функции f проведём по теореме 90.

Шаг 9. Посмотрите график функции f (см. рис. 5.14).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

y

2

1

p p

Рис. 5.14 График функции f(x) = 3 x2 - 3 x2 - 1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit