Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Доказательство. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа [см. следствие 85.2], представим функцию f в некоторой U"(x0) в виде:

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x - x0) +

1!

+ f(n-1)( )(x-x0)(n-1) + f(n)( )(x-x0)n; n!

где лежит между x и x0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

!

ке x0 и f(n)(x0) 6= 0, то существует

U (x0) U"(x0);

в которой f(n)(x) сохраняет знак [см. Лемму 8].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если n – чётное число, то

8x 2 U (x0) : (x - x0)n > 0

и, в силу (5.31), разность f(x) - f(x0) сохраняет знак в U (x0), т.е. в точке x0 функция f имеет строгий экстремум. Кроме того,

если f(n)(x0) > 0, то f(x) - f(x0) > 0; т.е. x0 – точка строгого минимума функции f,

если же f(n)(x0) < 0, то f(x) - f(x0) < 0 и в точке x0 функция f имеет строгий максимум.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если n – нечётное число, то

8x 2 U (x0) ; x < x0 : (x - x0)n < 0

и

8x 2 U (x0) ; x > x0 : (x - x0)n > 0:

Следовательно, в силу (5.31), разность f(x)- f(x0) не сохраняет знак в U (x0), т.е. в точке x0 функция f не имеет экстремума.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следствие 91.1. Пусть функция

f : A ! R; A R

во внутренней точке x0 2 A имеет непрерывные производные до второго порядка

включительно.

Если f0(x0) = 0 и f00(x0) 6= 0, то

x0 является точкой экстремума функции f,

причём это

строгий минимум, если f00(x0) > 0 и строгий максимум, если f00(x0) < 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите точки экстремума функции.

Нажмите на кнопку second derivative (вторая производная). На рисунке появится график второй производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Обратите внимание на значения второй производной в точках максимума и минимума функции.

Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 116. Для функции

f(x) = p3 x2 - 3px2 - 1

найти:

1.точки разрыва функции f определить их тип;

2.точки подозрительные на экстремум функции f;

3.интервалы монотонности функции f;

4.точки экстремума функции f:

Построить эскиз графика функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 116 Для функции

f(x) = p3 x2 - 3px2 - 1

найти:

1. точки разрыва функции f определить их тип;

Решение.

Шаг 1. dom f = R:

dom f = R; так как по формуле, задающей функцию f; можно вычислить значение функции для любого x 2 R.

Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = R не принадлежащие этому множеству.

Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit