Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Теорема 88. Пусть f : [a; b] ! R непрерыв-

на на [a; b] и дифференцируема на (a; b). Если 8x 2 (a; b) : f0(x) > 0 [f0(x) < 0], то

функция f возрастающая [убывающая] на

[a; b].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Фиксируем две произ-

вольные точки x1; x2 2 [a; b]; x1 < x2: По теореме Лагранжа

f(x2) - f(x1) = f0( )(x2 - x1); x1 < < x2:

(5.29)

Тогда

)

Из выделенного синим цветом следуют утверждения теоремы.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 137. Интервалы, на которых функция возрастает [неубывает, невозрастает, убывает], называются интервалами монотонности функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если производная функции f непрерывна на (a; b); то разделять интервалы монотонности могут лишь точки, в которых f0(x) = 0; так как перемена знака непрерывной функции возможна лишь при переходе её через нуль [см. теорему 61]. Точка, в которой f0(x) = 0; называется точкой стационар-

ности функции f. Заметим, что не каждая точка стационарности разделяет интер-

валы монотонности. Если же не требовать

непрерывности производной функции f, то интервалы монотонности могут разделять

не только точки стационарности. Например,

для функции f(x) = jxj точка x0 = 0 разделяет интервалы монотонности, но точка не

является точкой стационарности, так как в

этой точке производная функции f не существует.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 115. Найти интервалы монотонности функции f(x) = lnxx.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Функция f - элементарная функция и не указана область определения этой функции. Согласно соглашению об области определения элементарных функций, функция f определена в естественной области определения - dom f = (0; 1) [(1; +1): Причём, в силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f непрерывна на domf:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Более того функция f дифференцируема на

domf:

Находим f0(x) = ln x-1. Легко видеть, что

(ln x)2

f0(x) < 0 при x 2 (0; 1) [ (1; e)

и

f0(x) > 0 при x 2 (e; +1)

(см. рис. 3.11). Следовательно, по теореме 88, функция f убывает на (0; 1) [ (1; e) и возрастает на (e; +1).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ

Протащите мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Прямая линия – касательная к графику функции в точке отмеченной красным маркером. По графику функции выделите интервалы монотонности функции.

Нажмите на кнопку first derivative (первая производная). На рисунке появится график первой производной. Протащите снова мышкой красный маркер вдоль оси абсцисс. Проследите как связаны интервалы монотонности функции с знаком первой производной функции.

Выбирайте среди polynomial, trigonometric или logarithmic функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.8.4.Экстремумы функции.

Пусть задана функция f : A ! R; A R.

Определение 138. Говорят, что внутренняя точка x0 2 A есть точка минимума (максимума) функции f, если 9U"(x0) A такая, что 8x 2 U"(x0) выполняется неравен-

ство f(x0) f(x) (f(x0) f(x)). Если же 8x 2 U"(x0) выполняется строгое неравен-

ство f(x0) < f(x) (f(x0) > f(x)), то точка x0 2 A называется точкой строгого мини-

мума (строгого максимума) функции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 139. Внутренняя точка x0 2 A

называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или максимума.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit