Применяя правило Лопиталя (n - 1) раз найдём
lim |
rn(x; x0) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
lim |
|
rn0 (x; x0) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - x0)n |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
x0 |
= x |
|
x0 n(x - x0)(n-1) = 0 = |
|
|
lim |
rn(n-1)(x; x0) |
|
!0 |
|
1 |
lim |
f(n-1)(x) - Pn(n-1)(x; x0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!(x - x0) |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
x - x0 |
= |
= x x0 |
|
= n! x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
!0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(n-1)(x) - f(n-!)(x0) - f( )(x0)(x - x0) |
|
|
= |
|
= |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
0 |
n! |
! |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
x - x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f(n-1)(x) - f(n-1)(x0) |
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - x0 |
|
- f (x0) = |
|
|
|
|
|
|
= n! x |
! |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f |
(n) |
|
|
|
(n) |
(x0) = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(x0) - f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
По определению 85, rn(x; x0) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая (x - x0)n при x ! x0; т.е.
rn(x; x0) = f(x) - Pn(x; x0) = o ((x - x0)n) при x ! x0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 134. Формула
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x - x0)+
1!
+ f00(x0)(x - x0)2 +
2!
+ f(n)(x0)(x - x0)n + o ((x - x0)n) n!
при x ! x0: (5.21)
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Формулу (5.21) удобно использовать для вычисления пределов. Между тем естественно использовать полином Тейлора как приближение к функции f, с помощью которого она может быть вычислена с нужной степенью точности. Для этого нужно получить другие формы записи остаточного члена rn(x; x0):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
'0( )n!
Теорема 85. Если на отрезке I с концами x0; x функция f непрерывна вместе с первыми n своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка (n + 1); то при любой функции '; непрерывной на отрезке I и имеющей отличную от нуля производную в его внутренних точках, найдётся точка , лежащая между x0 и x, такая, что
rn(x; x0) = '(x) - '(x0)f(n+1)( ) (x - )n :
(5.22)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. На отрезке I с концами x0; x рассмотрим вспомогательную функцию
F(t) = f(x) - Pn (x; t) =
= f(x) - f(t) + f0(t)(x - t)+
1!
#
+f00(t)(x - t)2 + + f(n)(t)(x - t)n
2! n!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда
|
функции F; ' непрерывнына |
|
I |
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
> |
|
|
1: |
(условия теоремы85 и 57) |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
функции F; ' дифференцируемыво внутренних точках |
I |
= |
81 |
2: |
(условия теоремы85 и 73) |
|
|
> |
= |
|
|
|
! >> |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
'0(t) 6= 0 для всех внутренних точек I |
|
|
> |
3: |
|
|
> |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
> |
|
|
|
(условия теоремы85) |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) - F(x0) |
|
|
F>0( ) |
|
9 |
|
между |
|
0 |
и |
|
в которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(x) - '(x0) |
|
'0( ) |
|
|
|
|
x |
|
|
x; |
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Вычислим |
|
|
|
001(! ) |
|
|
|
01! + |
|
|
|
|
|
F0(t) = - f0(t) + |
|
f |
(x - t) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f000(t) |
(x - t)2 - |
f00(t) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(x - t) + |
|
|
|
|
2! |
1! |
|
|
|
|
(n+1) |
|
|
|
|
f(n) t |
|
|
+ |
f |
|
(t) |
(x - t)n - |
|
( ) |
(x - t)(n-1) = |
|
|
|
n! |
(n - 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
f(n+1)(t) |
(x - t)n |
(5.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) - F(x0) = 0 - F(x0) = -rn(x : x0): |
(5.25) |
Подставляя (5.24) и (5.25) в (5.23), получим (5.22). |
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следствие 85.1. Пусть '(t) = (x - t)p; где p > 0: Очевидно, эта функция удовлетворяет условиям теоремы 85. Поэтому
|
rn(x; x0) = |
-(x - x0)p |
f(n+1)( ) (x - )n = |
|
-p(x - )(p-1)n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n+1)( ) |
|
|
|
= |
|
(x - )(n+1-p)(x - x0)p: |
|
|
|
|
|
|
|
|
n!p |
Так как = x0 + (x - x0); 0 < < 1; то
x - = x - x0 - (x - x0) = (1 - )(x - x0): Тогда
rn(x; x0) =
= f(n+1)(x0 + (x - x0))(1 - )(n+1-p)(x - x0)(n+1); n!p
0 < < 1: (5.26)
Выражение (5.26) называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Шлемильха и Роша.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следствие 85.2. Полагая в формуле (5.26) p = n + 1; получим остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:
rn(x; x0) = f(n+1)( )(x - x0)(n+1); (n + 1)!
где лежит между x и x0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следствие 85.3. Полагая в формуле (5.26) p = 1; получим остаточный член формулы Тейлора в форме Кош´и:
rn(x; x0) =
= f(n+1)(x0 + (x - x0))(1 - )n(x - x0)(n+1); n!
0 < < 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
