Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

! 1

Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный характер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого смогли найти.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.8.1.3.Другие виды неопределённости.

Пусть f; g : A ! R; A R. Обозначим через ! конечную или бесконечно удалённую предельную точку множества A. Неопределённости вида (0 1) и (1 - 1) алгебраическими преобразованиями можно свести к

неопределённостям вида 00 или 11 .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть, далее,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Неопределённости вида (11) ; 00 ; 10

возникают при нахождении предела при x ! ! функции y = [f(x)]g(x), f > 0 вблизи !. Для нахождения предела при x ! ! такой функции достаточно найти предел при x ! ! функции ln y = g(x) ln f(x).

Действительно, если lim ln y = (0 1) = k 2

x!!

R; то lim y = ek.

равно +1 и 0, соответственно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 114. Найти lim xx.

x!0+

Решение. Найдём сначала

Тогда

lim xx = e0 = 1:

x!0+

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.8.2.Формула Тейлора.

Пусть функция f : (a; b) ! R имеет непрерывные производные до n порядка включи-

тельно на интервале (a; b) и x0 2 (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 133. Многочлен

Pn(x; x0) =

= f(x0) + f0(x0)(x - x0) + f00(x0)(x - x0)2 +

1! 2!

+ f(n)(x0)(x - x0)n: n!

называется полиномом Тейлора порядка n функции f в точке x0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Полином Тейлора Pn(x; x0) совпадает с функцией f в точке x0 и даёт некоторое приближение функции f в U"(x0): Поэтому особый интерес приобретает изучение разности

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit