Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА Иллюстрация теоремы Лагранжа для функции

f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3:

Нижняя и верхняя границы сегмента определения задаются движками “a” и “c”, соответственно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание 3. Если x интерпретировать как время, а f(b) - f(a) как величину перемещения за время (b - a) частицы, движущей по прямой, то теорема Лагранжа означает, что если бы в течении всего промежутка времени [a; b] частица двигалась с постоянной скоростью f0( ), то она сместилась бы на ту же величину (f(b) - f(a)). Величину f0( ) называют средней скоростью движения на промежутке [a; b].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.7.4.Теорема Кош´и.

Теорема 81. (Кош´и) Пусть:

1.функция f; g : [a; b] ! R непрерывны на [a; b];

2.функция f; g : [a; b] ! R дифференцируемы на (a; b);

3.g0(t) 6= 0 для всех t 2 (a; b).

Тогда существует точка 2 (a; b) такая, что

то есть отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке : Равенство (5.17) называется формулой Коши.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. п.1. Сначала докажем, что g(b) - g(a) 6= 0: Действительно, если допустить, что g(b) - g(a) = 0 или, что то же, g(b) = g(a); то по теореме Р´олля для функции g найдётся точка ; a < < b; в которой

g0( ) = 0: А это противоречит условию, так как g0(t) 6= 0 для всех t 2 (a; b).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

п.2. Рассмотрим вспомогательную функцию

8t 2 [a; b]:

F(t) = f(t) - f(a) - f(b) - f(a) (g(t) - g(a)) : g(b) - g(a)

Функция F удовлетворяет условиям теоремы Р´олля. Действительно,

1.функция F : [a; b] ! R непрерывна на [a; b] (см. теорему 57);

2.функция F : [a; b] ! R дифференцируема на (a; b) (см. теорему 73);

3.F(a) = F(b) = 0:

Тогда существует точка 2 (a; b) такая, что

F0( ) = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как

8t 2 (a; b) : F0(t) = f0(t) - f(b) - f(a) g0(t); g(b) - g(a)

то, следовательно,

Геометрическая иллюстрация теоремы Кош´и - та же, что и для теоремы Лагранжа, см. рис. 5.13.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим плоскую кривую с параметризацией

t ! (g(t); f(t)) ; t 2 [a; b]:

тельной в некоторой внутренней точке дуги, отвечающей t = :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.8.Исследование функций методами дифференциального исчисления.

Теоремы этого раздела позволяют делать выводы о поведении функции на основании имеющейся информации о её производных.

Методами дифференциального исчисления можно находить пределы функций, интервалы постоянства и монотонности функций, точки экстремума функций, наибольшие и наименьшие значения функций, интервалы вогнутости и выпуклости функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.8.1.Правило Лопиталя.

В1696 году вышло из печати главное творение жизни Лопиталя – “Анализ бесконечно малых для познания кривых линий”. Это был первый печатный учебник по дифференциальному исчислению, с появлением которого началось широкое знакомство с анализом бесконечно малых и постепенное проникновение его в математическую практику. В основу своей книги Лопиталь положил лекции Иоганна Бернулли, написанные специально для

Лопиталя, рукопись которых была найдена в 1921 году. “Правило Лопиталя” раскрытия неопределенностей вида 00 также было сообщено Лопиталю Иоганном Бернулли.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit