Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Доказательство формулы (5.16) будем проводить методом математической индукции.

При n = 1 формула (5.16) совпадает с правилом дифференцирования произведения (см. теорему 74).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если функции u; v имеют производные до порядка n+1 включительно, то, в предположении справедливости формулы (5.16) для по-

рядка n, после дифференцирования её левой и правой частей получаем

k=1

X

= Ckn+1u(n+1-k)v(k): k=0

(*) – объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения производных от

функций u и v.

Справедливость формулы Лейбница доказана.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на самом деле с нею непосредственно связана. Она часто бывает полезна при выводе общих выражений для n-й производной.

Пример 109. Найти f(n)(0), если

f(x) = x2eax; a 2 R:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. По формуле Лейбница, находим

f(n)(x) =

=x2aneax + C1n2xan-1eax + 2C2nan-2eax =

=x2aneax + 2nxan-1eax + n(n - 1)an-2eax;

откуда f(n)(0) = n(n - 1)an-2:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 110. Найти f(n)(0), если

f(x) = arctg x:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Производные высших порядков от функции одного переменного.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.6.3.Вторая производная параметрически заданной

функции.

Пусть функция f : A ! R задана параметрически

f :

x = '(t);

y = (t); t 2 T:

Пусть функции ' : T ! A; : T ! R дважды

дифференцируемы в каждой точке t 2 T и

8t 2 T : '0(t) 6= 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда параметрически заданная функция f : A ! R дважды дифференцируема в каждой точке x 2 A и производная параметрически

заданной функции

f :

x = '(t);

y = (t); t 2 T;

есть параметрически заданная функция

x = '(t);

f0 : y0 = '00((tt)); t 2 T;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

производная от которой есть снова парамет-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.7.Теоремы о среднем.

Знание производной f0 некоторой функции f часто позволяет делать заключение и о поведении самой функции f: Вопросам этого рода

посвящён данный раздел.

Теоремы этого раздела содержат значения производных в некоторой точке, о располо-

жении которой известно только то, что она находится между двумя заданными точками

(отсюда название раздела), однако, это не ме-

шает многообразным применениям этих теорем в анализе.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.7.1.Теорема Ферм´а

Теорема 78. (Ферм´а) Пусть функция

f : A ! R принимает наибольшее или наименьшее значение на A во внутрен-

ней точке 2 A. Тогда, если существует f0( ), то f0( ) = 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit