Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Дифференцирование функции одного аргумента.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.6. Производные и дифференциалы высших порядков.

Если функция f : A ! R дифференцируема в любой точке x 2 A, то на множестве A воз-

никает новая функция f0 : A ! R, значение которой в точке x 2 A равно производной

f0(x) функции f в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Функция f0 : A ! R может тоже иметь производную (f0)0 : A ! R на A, которая по отношению к исходной функции f называется второй производной от f и обозначается одним из символов

f00(x); f(2)(x); d2f(x): dx2

Условились считать f(0)(x) := f(x).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 129. Если определена производная f(n-1)(x) порядка n - 1 от функции f, то производная порядка n от функции f

определяется формулой

f(n)(x) = f(n-1) 0 (x):

Для производной порядка n приняты обозна-

чения

f(n)(x); dnf(x): dxn

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дифференциалы высших порядков функции определяются так же индуктивно, как и производные высших порядков.

Определение 130. Дифференциалом второго порядка функции f в некоторой точке x называется дифференциал в этой точке от

её (первого) дифференциала и обозначается d2f(x), то есть

2 опр.

d f(x) = d (df(x)) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 131. Дифференциалом n - го порядка функции f в некоторой точке x называется дифференциал в этой точке от её дифференциала (n - 1) - го порядка и обозначается dnf(x), то есть

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Производные и дифференциалы порядка два

ивыше называют высшими производными

идифференциалами. При вычислении диф-

ференциалов высших порядков очень важно помнить, что, если x независимая перемен-

ная, то dx есть произвольное и не зависящее

от x число, которое при дифференцировании по x надлежит рассматривать как постоян-

ный множитель.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Легко показать, что если x независимая переменная, то

dnf(x) = f(n)(x) (dx)n обоз= . f(n)(x)dxn:

Если же x есть функция независимой переменной t, то дифференциалы высших порядков находят последовательно:

df(x) = f0(x)dx;

d2f(x) = f00(x)dx2 + f0(x)d2x;

: : : :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit