Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Определение 7. Расстоянием между точками x; y 2 Rn называется число, обозначаемое d(x; y); и вычисляемое по формуле

d(x; y) =

q

=( 1 - 1)2 + ( 2 - 2)2 + + ( n - n)2 =

v

uXn

= u ( j - j)2: t

j=1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Частные случаи.

1. n = 1; x = ( 1); y = ( 1) 2 R;

q q

d(x; y) = ( 1 - 1)2 = (y - x)2 = jy - xj:

d(x; y) - длина отрезка xy.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Свойства расстояния:

1.d(x; y) = 0 тогда, и только тогда, когда x = y;

2.8x; y 2 Rn : d(x; y) 0;

3.8x; y 2 Rn : d(x; y) = d(y; x);

(симметричность);

4. 8x; y; z 2 Rn : d(x; z) d(x; y) + d(y; z)

(неравенство треугольника). Неравенство треугольника

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.4.4.Окрестность точки в арифметическом пространстве.

Пусть n 2 N и " 2 R; " > 0 фиксированы.

Определение 8. Множество точек

fx 2 Rn j d(x0; x) < "g

называется " - окрестностью точки x0 2

Rn и обозначается U"(x0); т.е.

опр. n

U"(x0) = fx 2 R j d(x0; x) < "g:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3. U"(x0) R3 – шар радиуса " с центром в точке x0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit