Цифровые устройства и микропроцессоры
..pdf51
cd |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
XX0X |
||||||
ab |
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
00 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
01XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100X |
X0X0 |
10X0 |
с |
0XX1 |
|
а) |
|
б) |
|
Рис. 3.15 – Покрытие функций S1 |
и S2 контурами: S1 (a); S2 (б) |
S1 = ab + abc + b d , S2 = c(a + b + d)(a + d ).
На рисунке 3.16 приведена карта Карно для пяти переменных.
x3x4x5
x1x2 |
000 |
001 |
011 |
010 |
110 |
111 |
101 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
00 |
0 |
1 |
3 |
2 |
6 |
7 |
5 |
4 |
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
11 |
10 |
14 |
15 |
13 |
12 |
||
|
|||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
25 |
27 |
26 |
30 |
31 |
29 |
28 |
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
17 |
19 |
18 |
22 |
23 |
21 |
20 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.16 – Разметка карты Карно для БФ от пяти аргументов
Сложность применения карт Карно и Вейча от пяти переменных заключается в том, что соседними являются столбцы, расположенные не только рядом, но и на расстоянии друг от друга. На рисунке 3.16, например, это столбцы, отмеченные переменными Х3 Х4 Х5 – 001 и 101, 011 и 111. Для карт от шести переменных появляются такие же соседние строки. Поэтому карты Карно и Вейча
52
чаще применяются для минимизации БФ от 2, 3 и 4 переменных. А булевы функции от пяти и более переменных минимизируются другими способами.
На рисунках 3.17 и 3.18 приведены примеры БФ, нанесенных на карты Вейча и Карно, и показан результат их возможной минимизации.
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
111X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
010X |
x2 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100X |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
00X1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10X0 |
|
x3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
11X0 |
X11X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00X1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1X1X |
|
x3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11X1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1X10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
0001 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10X0 |
|
|
x3 |
|
X010 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
X110 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
0 |
|
0011 |
|||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
1X01 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X101 |
|||
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
0000 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.17 – Примеры минимизации булевых функций с помощью карт Вейча:
P1 (a); P2 (б); P3 (в); P4 (г)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Р1 = (1, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 14, 15), Р1 = abc + abd + abd + |
|
|
|
|
||||||||||||
abc + abc; |
|||||||||||||||||
2) |
Р2 = P(1, 2, 8, 10, 13, 14, 15), |
||||||||||||||||
|
Р2 = (a + |
|
+ |
|
|
|
); |
||||||||||
|
b |
d |
)(a + c + d )(a + b + d )(b + c + d )(a + b + c + d |
3)Р3 = P(1, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15),
Р3 = (a + c )(a + b + d )(b + c )(a + b + d );
|
4 |
|
( |
) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
Р |
= |
|
0, 3, 5, 6, 9, 13, 14 , |
P |
= acd + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
abcd + bcd + abcd + bcd . |
53
x3x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 |
|
00 |
01 |
|
11 |
|
10 |
|
|
|
|
00 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0010 |
|
|
01 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
11X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
100X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
x3x4 00 |
0X01 |
|
|
|
|
|||||
01 |
|
11 |
10 |
|
|
|||||
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
X110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100X |
11 |
1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1X10 |
|
|
|
|
||||||||
10 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
111X |
|
|
||||
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
x3x4 |
|
|
01X 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1x 2 |
|
|
00 |
01 |
|
11 |
10 |
|
|
||||
|
0 |
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||
0XX0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X1X0 |
|
|
|
|
XX1X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x4 00 |
|
|
|
011X |
||||||||
x1x 2 |
01 |
11 |
10 |
|
|
||||||||
00 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X000 |
01 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
110X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10X0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.18 – Примеры минимизации булевых функций с помощью карт Карно:
F1 (а); F2 (б); F3 (в); F4 (г)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
F1 = (2, 8, 9, 13, 15), F1 = abd + abc + abcd ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
F2 |
= (0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15), F2 = ad + bd + c + ab; |
|||||||||||||||||||||||
3) |
F3 = P(1, 5, 6, 8, 9, 10, 14, 15), |
||||||||||||||||||||||||
|
F3 = (a + b + c)(a + c + d )( |
|
+ c + d )(a + |
|
|
|
|
|
|
|
); |
||||||||||||||
|
b |
b |
+ c )(a + c + d |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 ) |
F4 |
= (0, 6, 7, 8, 10, 12, 13), F4 = bcd + abc + abd + abc. |
3.3 Функционально полные системы БФ
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Систему БФ { f1, f2, , fn} называют полной, если любая БФ может быть выражена суперпозицией функций f1, f2 , , fn.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
54
Функции, полученные применением суперпозиции, отличаются от исходных функций, и их свойства отличаются от свойств исходных функций. Среди БФ есть такие, которые обладают основными свойствами. Доказано, что число функций в полной системе не превышает четырех.
Базисом называют полную систему функций алгебры логики, с помощью которых любую БФ можно представить как суперпозицию функций базиса. Минимальный базис состоит из такого набора функций, что исключение любой из них превращает этот набор в неполную систему функций. Известны и широко применяются несколько базисов, состоящих из элементарных функций.
Базис, который называют основным, включает три функции: И, ИЛИ, НЕ – и, соответственно, реализуется тремя логическими элементами.
Базис И-НЕ включает в себя только одну функцию И-НЕ и один логический элемент. Его еще называют универсальным. БФ элемента этого базиса:
f = ab.
На основе этого элемента производятся различные цифровые устройства. Чтобы реализовать любую функцию в этом базисе, необходимо провести преобразования БФ в данный базис. Для этого используются теоремы де Моргана. Например:
f1 = x1x2 + x1x2 = x1x2 + x1x2 = x1x2 x1x2.
Таким образом, в окончательной формуле присутствуют только операции И-НЕ. Схема, реализующая эту БФ, приведена на рисунке 3.19.
x1 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
|
|
& |
f |
1 |
|
|
|
|
||||
x1 |
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.19 – Реализация БФ в базисе И-НЕ
Базис ИЛИ-НЕ включает в себя одну функцию ИЛИ-НЕ и только один логический элемент также называется универсальным. БФ элемента этого базиса:
f = a + b.
Чтобы реализовать любую функцию в этом базисе, необходимо провести преобразования БФ. Преобразование формулы в базис ИЛИ-НЕ:
55
f2 = x1x2 + x1x2 = x1x2 + x1x2 = x1 + x2 + x1 + x2.
Схема, реализующая эту БФ, приведена на рисунке 3.20.
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
1 |
1 |
f2 |
|||
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.20 – Реализация БФ в базисе ИЛИ-НЕ
Рассмотрим особенности базисов И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Элемент И-НЕ описывается функцией. Таблица истинности этой функции приведена в таблице
3.2.
Таблица 3.2 – Таблица истинности функции F
Х1 |
Х2 |
F |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Если на оба входа элемента И-НЕ подать одну и ту же переменную (первая и четвертая строки таблицы), то в результате получается функция:
f = Х1 Х1 = Х1,
т. е. элемент И-НЕ становится инвертором (рис. 3.21, a). При последовательном соединении двух элементов И-НЕ, как показано на рисунке 3.21, б, схема выполняет функцию И. Таким образом, базис И-НЕ содержит как бы три элемента: И-НЕ, И, НЕ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1 |
|
|
& |
|
x1 x1 |
|
& |
|
x1x |
2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) |
|
б) |
|
|
|
Рис. 3.21 – Соединение элементов базиса И-НЕ: инвертор (НЕ) (а); элемент И на двух элементах И-НЕ (б)
Элемент ИЛИ-НЕ описывается функцией f = X1 + X 2. Таблица истинности этой функции приведена в таблице 3.3.
56
Таблица 3.3 – Таблица истинности функции F
Х1 |
Х2 |
F |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Если на оба входа элемента ИЛИ-НЕ подать одну и ту же переменную, то получим функцию: f = X1 + X1 = X1, т. е. элемент ИЛИ-НЕ становится инвертором (рис. 3.22, а). При последовательном соединении двух элементов ИЛИ-НЕ, как показано на рисунке 3.22, б, элемент ИЛИ-НЕ преобразуется в элемент ИЛИ. Таким образом, базис ИЛИ-НЕ содержит как бы три элемента: ИЛИ-НЕ, ИЛИ, НЕ.
x1 |
1 |
|
|
|
|
x1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1+x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1+x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Рис. 3.22 – Соединение элементов базиса ИЛИ-НЕ: инвертор (НЕ) (а); элемент ИЛИ на двух элементах ИЛИ-НЕ (б)
Рассмотрим примеры реализации функций в различных базисах. Функция D (ДНФ) в базисе И-НЕ сначала минимизируется, затем перево-
дится в базис, а потом реализуется (рис. 3.23).
D = (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14) = x1x2 x3x4 + x1x4 + x2 x3x4 + x1x2 =
= x1x2 x3x4 + x1x4 + x2 x3x4 + x1x2 = x1x2x3x4 + x1x4 + x2x3x4 + x1x2.
|
|
|
|
57 |
|
x3 x4 |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
x1x2 |
|||||
|
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
01 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
11 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1000 |
01XX |
0XX1 |
X110 |
||
|
|
|
а) |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
& |
|
D |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
4 |
|
|
|
|
б) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.23 – Функция D – карта Карно (а) и схема в базисе И-НЕ (б)
Функция K (ДНФ) в базисе И-НЕ (рис. 3.24):
K = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15) = x1 + x2 x2 x3 + x2 x4 =
= x1 + x2 x2 x3 + x2 x4 = x1 + x2 x2 x3 + x2 x4.
x3x4 |
|
|
0XXX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
00 |
01 |
11 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
01 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
K |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
б) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X0X0 |
X111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а)
Рис. 3.24 – Функция K – карта Карно (а) и схема в базисе И-НЕ (б)
Функция F (КНФ) в базисе И-НЕ (рис. 3.25):
F = (0, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15) = x2(x1 + x4)(x1 + x3 + x4 ) =
= (x2 )(x1 + x4 )(x1 + x3 + x4 ) = x2 x1x4 x1x3x4.
58
|
x3x4 |
|
|
|
|
|
X1XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1x2 |
|
00 |
01 |
|
|
11 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0X00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
01 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
11 |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
x1 |
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 |
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1XX1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.25 – Функция F – карта Карно (а) и схема в базисе И-НЕ (б)
Функция Q (КНФ) в базисе И-НЕ (рис. 3.26):
x3x4 |
|
0X0X |
|
0XX1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
00 |
01 |
|
11 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
x2 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
01 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
X10X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
x |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X1X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.26 – Функция Q – карта Карно (а) и схема в базисе И-НЕ (б)
Функция R в базисе ИЛИ-НЕ (рис. 3.27):
R = (2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15) =
=(x1 + x3 )(x2 + x3 + x4 )(x1 + x2 + x3 )(x1 + x4 ) =
=(x1 + x3 )(x2 + x3 + x4 )(x1 + x2 + x3 )(x1 + x4 ) =
=x1 + x3 + x2 + x3 + x4 + x1 + x2 + x3 + x1 + x4.
59
|
x3 x4 |
|
|
X010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x |
00 |
01 |
|
11 |
10 |
x1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
x |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
01 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
011X x1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1X0X |
|
|
1XX1 |
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а) |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.27 – Функция R – карта Карно (а) и схема в базисе ИЛИ-НЕ (б)
Функция S (КНФ) в базисе ИЛИ-НЕ (рис. 3.28):
S = (0, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15) = x4(x1 + x2 + x3)(x1 + x2 + x3) =
= x4 (x1 + x2 + x3 )(x1 + x2 + x3 ) = x4 + x1 + x2 + x3 + x1 + x2 + x3.
x3x4 |
|
|
XXX1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x1x2 |
|
00 |
01 |
11 |
|
10 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
00 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
000X |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
111X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.28 – Функция S – карта Карно (а) и схема в базисе ИЛИ-НЕ (б)
Функция G (ДНФ) в базисе ИЛИ-НЕ (рис. 3.29):
G = (0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14) = x1x2 x3 + x4 + x2x3 =
= x1x2 x3 + x2 x3 + x4 = x4 + x1 + x2 + x3 + x2 + x3.
60
Рис. 3.29 – Функция G – карта Карно (а) и схема в базисе ИЛИ-НЕ (б)