34
Рис.2.6б. Результаты решения примера 2.5 (задание (б)).
2.4.2. Взаимная задача к задаче оптимального выбора благ потребителем
|
Зафиксируем значение функции полезности на уровне u |
0 |
и рассмотрим те |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
блага |
x , для которых u(x) u |
0 |
, т.е. те блага, которые дают потребителю один и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тот же уровень удовлетворения |
u |
0 |
. Очевидно, что при заданном векторе цен на |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
блага p ( p1,..., pn ) стоимости
M
n
j1
p |
j |
x |
j |
|
|
таких благ различны. Поставим
взаимную задачу: какой набор благ, обеспечивающий данный уровень удовлетворения потребностей, самый дешевый. Математически такая взаимная задача формулируется так: найти минимум функции
n |
|
M p j x j |
(2.14) |
j1
при условии
|
u(x |
,..., x |
) u |
; x |
j |
0, |
j 1, n |
|
1 |
n |
0 |
|
|
|
|
Геометрически |
для |
n 2 |
задачу |
(2.14) – |
|||
следующим |
образом: |
для |
данной |
кривой |
|||
u(x1, x2 ) u0 |
среди параллельных бюджетных |
||||||
(2.15)
(2.15) можно сформулировать безразличия с уравнением
линий найти ту, которая ее
касается. Точка касания и будет оптимальным решением (рис. 2.7).
35
Рис. 2.7 Геометрическая интерпретация модели (2.14) – (2.15)
Решение задачи (2.14) – (2.15) удовлетворяет следующей системе уравнений
u |
|
1 |
p |
, |
j 1,..., n; |
u(x |
,..., x |
) u |
|
. |
|
|
|
|
0 |
||||||||
x |
|
|
|
j |
|
|
1 |
n |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы (2.16) определяет оптимальный набор благ где
x*
(x* 1
,
(2.16)
* |
) , |
..., x |
|
n |
|
и множитель
*
x |
|
x |
|
* |
* |
||
|
j |
|
j |
. Минимальные
( p,u0 ) ,
затраты
|
|
n |
M |
* |
* |
|
p j x j |
|
|
|
j1 |
(2.17)
будут зависеть от
величины |
u0 |
и вектора цен p . Меняя уровень потребления |
||
M |
* |
C(u ) |
, которая называется функцией затрат потребителя. |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
u |
0 |
|
, получим
В оптимальной точке
|
* |
|
dM |
|
|
|
|
|
|
|
du |
, т.е. множитель Лагранжа
*
показывает,
какие дополнительные затраты необходимо сделать, чтобы уровень удовлетворения (полезность) увеличить на единицу.
Выше было показано (см. (2.13))), что * u(x* ) , т.е. множитель
M
*
показывает, какую дополнительную полезность мы получим на дополнительную
единицу |
расходуемого дохода. |
Значит, |
по смыслу |
множители |
|
* |
и |
||
* взаимообратны. Установим, |
как |
связаны |
оптимальные |
решения взаимной |
|||||
задачи и |
задачи оптимального |
выбора благ потребителем. Пусть |
u |
0 |
равно |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимальному значению функции полезности u* , полученному при решении задачи оптимального выбора благ потребителем. В этом случае что * 1* , а