28
Рис. 2.3б. Кривые безразличия для функции полезности
u(x , x |
, x ) |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2.3.Предельная полезность и предельная норма замещения благ
Втеории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности благ, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически этот факт описывается частными производными функции полезности.
Величина |
u |
j |
0 |
показывает изменение полезности |
|||
|
|||||||
x |
|
||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единицу j -го блага. Переходя к пределу, получим |
lim |
u |
j |
||||
|
|||||||
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
x j 0 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на
дополнительную
u |
0 |
. Частная |
|
x |
|
||
j |
|
|
|
|
|
|
|
производная |
u |
называется предельной полезностью |
x j |
j
-го блага.
Рассмотрим
потребляемых
x |
, x |
,..., x |
1 |
2 |
n |
u u dx1x1
вопрос о взаимозаменяемости |
благ. |
Пусть |
объемы |
благ изменились соответственно |
на |
малые |
величины |
. Тогда полным приращением полезности является величина
u dx |
.... |
u |
dx |
– полный дифференциал функции |
|
||||
2 |
|
|
n |
|
x2 |
|
xn |
|
|
полезности. Пусть уровень полезности не изменяется, т.е. изменение набора благ происходит так, что сохраняется одна и та же поверхность безразличия
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
u(x |
,..., x ) c . |
Предположим, |
что количество всех благ, кроме |
k -го и l -го, |
||||||||||||
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые взаимозаменяемы, не изменяются. Тогда получим |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
dx |
|
u |
dx |
0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
xk |
k |
|
|
|
l |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
xl |
|
|
|
|||||
Отсюда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
dx |
|
x |
|
u / x |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
k |
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
kl |
|
|
dx |
|
x |
|
|
u / x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
k |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина n |
k |
называется |
коэффициентом (нормой) |
предельной |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
kl |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентной замены благ, который обратно пропорционален отношению предельных полезностей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку
u |
0, |
j 1, n, |
то |
n |
0 |
, |
т.е. |
увеличение |
потребления |
|
|||||||||
x |
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одного блага вызывает уменьшение другого для сохранения одного и того же уровня полезности.
Изучение изменения нормы предельной заменяемости одних благ другими играет важную роль при изучении закономерностей потребления: если потребность в определенном благе удовлетворяется незначительно, то относительная полезность этого блага по отношению к другим для сохранения одного и того же уровня полезности высока.
|
Рассмотрим |
|
теперь |
|
смысл |
вторых частных производных |
функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полезности. Вторые частные производные |
x |
x |
характеризуют |
изменение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
предельной полезности |
u |
блага j |
при изменении потребления этого же блага. |
||||||||||||
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
x |
x |
0 |
, |
т.е. предельная полезность любого блага уменьшается по |
||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мере того, как его потребление увеличивается. Это свойство называют законом Госсена – законом убывания предельной полезности. Таким образом, предполагаем, что функция полезности дважды дифференцируема, имеет непрерывные
частные производные, а матрица Гессе H , образованная из вторых частных производных, является отрицательно определенной (ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного положительны для любого набора
x (x1 ,..., xn ). Это требование относительно функции полезности означает, что функция полезности строго вогнута.
Пример 2.4. Для функций полезности
u(x , x ) x 1 |
x 2 |
, |
j |
0, 0 |
j |
1, j 1,2 |
|
1 2 |
1 1 |
2 2 |
|
|
|
||
найти: