Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в MATHCAD..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

6.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

		9
т.е	Ei	приближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск	y , если

затраты i -го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.

Предельная норма замены (замещения) ресурсов.

Пусть y f (x) - ПФ. Предельной нормой замены (замещения) i -го ресурса (фактора производства) j-м называется выражение

		x j		f / x
R	ij				i	0	(i, j 1, 2)
R		x		f / x		0	(i, j 1, 2)
			i		j

при постоянной y .

Для двухфакторной ПФ справедливо равенство

(1.5)

R12

E x			2
1
E	2	x
			1

(1.6)

т.е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если x1 K , x 2 L , то норма

замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Заменяя бесконечно малые приращения dxi на конечные xi , можно приближенно

записать выражение для предельной нормы замещения ресурсов (для двухфакторной ПФ)

		x
R	12	2
R		x


		1

На основании (5) предельная норма замены ресурсов

R12

(1.7)

(приближенно) показывает,

на сколько единиц надо увеличить затраты второго ресурса (при неизменном выпуске y a ), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну единицу.

Эластичность замещения ресурсов. Эластичностью замещения ресурсов

называется выражение
Eij	d ln x j	dx j / x j	x j / x j	(1.8)

	d ln xi	dxi / xi	xi / xi
	d ln xi	dxi / xi	xi / xi

Эластичность замещения i -го ресурса j -ым ресурсом процентов нужно увеличить j -ый ресурс при уменьшении объем выпуска продукции не изменился.

приближенно показывает, на сколько i -го ресурса на 1%, для того, чтобы

1.5. Доход

Пусть дана ПФ Кобба – Дугласа y a0Ka1 La 2 и a1 a 2 1. Можно показать, что

					10
y	y	K	y	L .	(1.9)
y	K	K	L	L .	(1.9)
	K		L

Если считать, что общество состоит только из работников и предпринимателей, а функция y

представлена в стоимостном выражении (доход от продажи продукции), то весь доход (6) распадается на две части, которые можно назвать доходом предпринимателя (предельная фондоотдача, или норма прибыли, умноженная на объем фондов) и доходом работников (предельная производительность труда, умноженная на количество трудовых ресурсов).

Аналогичный результат можно получить и для линейной ПФ, у которой a 0 0 .

1.6. Примеры выполнения заданий в Mathcad

Пример 1.1.
Зависимость количества выпускаемых холодильников	y	от затрачиваемого
рабочего времени L (у.е.) имеет вид
y a Lb , где a 50, b 0.5

Построить график функции

y(L)

и ее производной. Рассчитать предельную и

среднюю производительность труда ( M и A ) и трудоемкость ( t	1	L	)
	A	y

выпуска, а также эластичность выпуска E по труду.

Решение

Рис 1.1а.

Рис. 1.1б

Из рисунка 1.1а следует:

1) С ростом затрат рабочего времени L объем выпуска продукции растет.

2) Предельная производительность труда M с увеличением затрат рабочего времени L убывает. Это является отражением закона убывающей эффективности:

каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпускаемой продукции.

3) Средняя производительность труда A также убывает с ростом L, оставаясь выше предельной производительности труда.

Рис. 1.1б показывает, что с ростом трудовых затрат трудоемкость продукции возрастает.

Пример 1.2.

Выпуск автомобилей в зависимости от количества работающего оборудования дан в таблице

Период	Количество	Объем
	работающего	выпуска
	оборудования,	автомобилей
	у.е.	Шт.
1 - ый год	1	150
2 – ой год	2	198
3 –ий год	3	233
4 – ый год	4	261

Построить производственную функцию и рассчитать основные ее характеристики.

Решение.
В качестве модели ПФ возьмем функцию
y a Kb		(1.10)
Параметры модели найдем с помощью метода наименьших квадратов.
Предварительно преобразуем эту функцию с помощью операции
логарифмирования. Получим
z c b v ,		(1.11)
где z ln y, v ln K .
Запишем невязку для модели (1.11)
	4
F	(zi c b vi )2	(1.12)
	i 1
Параметры c и b	будем искать из условия минимума невязки (9). Необходимое

условие минимума (1.12) – это равенство нулю частных производных по c и b . В

результате получим систему линейных уравнений относительно c								и b :
4	4 c			b		4
zi	4 c			b		vi ,
i 1					i 1
4			c	4		b	4
z	v		c	v		b	v2
i 1 i		i		i 1	i		i 1 i
или в матричном виде
A x g ,								(1.13)

		4	4
			v	i
где A			i1
					,
		4	4
				2
		vi
			vi
	i1		i1

Решаем систему (1.13), находим c и b проводим с помощью математического

		4
		z	i
g		i1
				.
		4

		zi vi
	i1

, затем параметр пакета Mathcad.

e	c

. Вычисления

						1						150
K						2			y			198													0					5.011
K				3					y		233														0.693					5.288
				3							233					v ln(K)
																v ln(K)				z ln(y)			v				z
																				z ln(y)			v		1.099		z		5.451
						4						261													1.099				5.451			v1	v	2
																																v1	v

					4																				1.386					5.565				0
A	1		1		4				A	1 2				v		A	2 1	A	1 2															0
	1		1						A					v		A		A		A				v1
																				A	2	2		v1									0.48
																					2	2			g			z				v1	0.48
																									g	1		z				v1	1.207
																										1							1.207
				z
g		2		z				v																									1.922
		2
A							4		3.178				g		21.314
A						3.178			3.609				g			17.368				x lsolve(A g)					a exp x
																				x lsolve(A g)
																															x
																														b
																												1		b
																																2
a 150.039										b 0.4

Таким образом, получили ПФ y 150 K0.4 . Исследования полученной ПФ

проводим, также как в примере 1.1.

Параметры ПФ функции можно получить также с помощью встроенных в Mathcad опций. Одной из таких опций является поиск параметров линейной регрессии

y a b x . Для этого предусмотрены две функции

int ercept(x, y)

- возвращает значение параметра

(свободный член прямой

регрессии;

slope(x, y)

- возвращает значение параметра

(угловой коэффициент линии

регрессии)

	1		150
K	2	y		198				0
K	3	y		233			0.693
	3			233	v ln(K)
					v ln(K)
						z ln(y)	v
	4			261		z ln(y)	v	1.099

							1.386

c intercept(v z)

f(x) a xb i 1 4

400

300

f(x) 200

100

0 0

b slope(v z)

a exp(c)

a 150.039

2	4	6	8	10
		Ki x

5.011

5.288 z 5.451

5.565

b 0.4

Другой опцией является поиск параметров нелинейной регрессии общего вида F(x, p1,p2,...,pn) , где p1,p2,...,pn - параметры модели. В нашем случае имеем

модель

Y(x,a, b)

x	b

. Для проведения нелинейной регрессии общего вида

используется следующая функция:

genfit (x, y, vs, Y)

- возвращает вектор

параметров функции

Y , дающий минимальную среднеквадратичную

погрешность описания исходных данных функцией Y , заданных векторами x и

y .

Y должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор vs должен содержать начальные значения элементов вектора p , необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии

итерационным способом.

ELK ,

E KL .

и по капиталу t 1/ AL

150

198

233

Y(x a b) a x

Y(x a b) x

Y(x a b)

a x ln(x)

261

Y1(x p)

150.082

z genfit(K y vs Y1)

0.4

ln(x)

a z

b z

G(x) Y1(x z)

a 150.082

b 0.4

i 1 4

400

G(x)

200

Пример 1.3

Объем выпускаемой продукции в стоимостном выражении определяется через объем трудовых ресурсов и объем основных фондов формулой Кобба – Дугласа

Y 1000 K	0.5	0.4
Y 1000 K		L

(тыс. руб.)

Построить график ПФ как функции K при фиксированных значениях

L 30,40,50

тыс. руб.

Построить график ПФ как функции

K 100,150, 200 тыс. руб.

при фиксированных значениях

Рассчитать характеристики ПФ: предельные и средние производительности

	Mi , Ai ресурсов, эластичности выпуска по труду	E L
	капиталоемкость f 1/ AK и трудоемкость выпуска
	Построить изокванты Y 38980 руб. и Y 50000

Рассчитать капиталовооруженность труда k K / L

Вычислить предельную норму замещения ресурсов R LK , R эластичность замещения ресурсов

Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

E K

Построим трехмерный график ПФ

Сечения ПФ по K

Сечения ПФ по L

Расчет характеристик ПФ

Дадим краткий комментарий полученным результатам:

Двухмерная ПФ определена в первом квадранте и является выпуклой вверх по обеим переменным функцией;

С увеличением объема ресурсов объем производства растет

При фиксированных значениях объема одного из ресурсов зависимость ПФ от второго ресурса является возрастающей по второму ресурсу, при этом чем больше значение фиксированного ресурса, тем выше кривая на графике

Предельная и средняя производительности ресурсов являются убывающими функциями своих ресурсов, что отражает экономический закон убывающей эффективности производства. Средняя производительность выше предельной.

Капиталоемкость и трудоемкость выпуска продукции возрастают с ростом затрат ресурсов

Построим изокванты и рассчитаем капиталовооруженность труда, предельную норму и эластичность замещения труда капиталом Экономический анализ полученных результатов.

Изокванта (или линия уровня) является убывающей функцией своего аргумента, т. е. при уменьшении затрат одного ресурса для сохранения объема производства необходимо увеличить затраты второго ресурса. Чем выше объем производства, тем выше график изокванты

Капиталовооруженность труда уменьшается с увеличением затрат труда

Предельная норма замещения труда капиталом уменьшается с ростом объема труда. Чем выше объем производства, тем выше график кривой предельной нормы замены труда капиталом

Эластичность замещения труда капиталом не зависит от затрат труда

Пример 1.4

В таблице приведены значения объема выпуска для различных значений затрат ресурсов

L	50	60	70	80
K
10	31.518	35.162	38.569	41.786
20	41.589	46.396	50.892	55.138
30	48.912	54.566	59.854	64.846
40	54.877	61.220	67.153	72.754

Найти параметры ПФКД:

Y a K
Y a K		L

Решение

Поиск параметров способами:

a, ,

с помощью пакета Mathcad можно выполнить двумя

1)Путем проведения многомерной регрессии между объемом производства

изатратами ресурсов.

Для этого предварительно логарифмируем исходные данные, что эквивалентно переходу от нелинейной ПФ к линейной

Z(a, , ) ln(Y) ln(a) ln(K) ln(L)

Для проведения многомерной регрессии используется функция

regress(Mxy,Vz,n)- возвращает вектор искомых параметров регрессии. Mxy -

матрица m 2 , содержащая координаты	x и y . Vz	- m -мерный вектор,
содержащий значения функции, соответствующие переменным			x и y .
2) Путем минимизации невязки

F	n m	(Zij c xi y j)2	min ,

	i 1 j 1
где Z ln(Y), c ln(a), x ln(K),			y ln(L) ;

x ;

m 4 - число значений аргумента y . Минимизация невязки эквивалентна решению относительно искомых параметров c, , :

n 4	- число значений аргумента

системы линейных уравнений

A p

Здесь вектор

n	m
g ( Z
	ij
i 1 j 1
	n m
	n m

	n
A m x
	i 1
	m
n	y
	j 1
	j 1

g ,

p (c, , ) - искомый вектор параметров ПФ;

Zij xi ,

Zij

y j)

- вектор правой части

i 1 j 1

y j

i 1

j 1

x 2

- матрица системы

i 1

j 1

i 1

j 1

Рассчитаем параметры первым способом

		10	50		31.518
		10	60		35.162
		10	60		35.162

		10	70		38.569
		10	80		41.786
		10	80		41.786
		20	50		41.589
		20	50		41.589

		20	60		46.396
		20	70		50.892
		20	70		50.892

XY		20	80	Y	55.138
XY		30	50	Y	48.912
		30	50		48.912
		30	60		54.566
		30	60		54.566

		30	70		59.854
		30	80		64.846
		30	80		64.846
		40	50		54.877
		40	50		54.877

		40	60		61.220
		40	70		67.153
		40	70		67.153

		40	80		72.754			3
								3
								3
								3

								1
	Mxy ln( XY)			Vz ln(Y)		Vs regress(Mxy Vz 1)	Vs	1
	Mxy ln( XY)			Vz ln(Y)		Vs regress(Mxy Vz 1)	Vs	0.4
								0.4
								0.6
						a exp Vs6		0.6
	Vs4			Vs5
	Vs4			Vs5				0.182
								0.182
	a 1.2			0.4	0.6

Ответ:

a 1.2;

0.4;

0.6

Y 1.2 K	0.4	0.6
Y 1.2 K		L

Проведем расчет параметров ПФ вторым способом.

					31.518					35.162			38.569			41.786											10						50
Y					41.589					46.396			50.892			55.138						K					20		L				60
Y					48.912					54.566			59.854			64.846						K					30		L				70
					48.912					54.566			59.854			64.846											30						70

					54.877				61.220 67.153 72.754																		40						80

Z ln(Y)																			A	1 1	16										x								4 y
Z ln(Y)							x ln(K)							y ln(L)					A		16						A1 2	4						A1 3


A2 1 4 x																							x1					A2 3 x							y					A3 1 4 y
														2			A2		2 4
												x1 x					A2		2 4
	A3 2 x y																			A3 3 4 y1											v1 Z						1		v2 Z			2
														y1 y			2																				1					2
														y1 y
	v3 Z								3		v4			Z		4			g1 v									b1 y1 Z								1			b2 y2 Z				2
	v3 Z										v4			Z					g1 v									b1 y1 Z											b2 y2 Z
b	3	y		3				Z		3						Z
b		y						Z
													b4	y4						4			g3 b
													b4	y4

					T		d		x					ZT	1
ZT Z							d		x					ZT			d		x					ZT				d		x					ZT
								1		1							d		x					ZT			2	d		x					ZT			3		4	4
																		2		2									3			3							d	4	4	ZT	4
																		2		2									3			3							d		x	ZT	4
							16			49.554				66.548																			62.667
							16			49.554				66.548						g2								g
																										d						195.821
	A					49.554				157.809				206.104												d						195.821
	A					49.554				157.809				206.104
																																260.941
						66.548				206.104				277.278																		260.941
						66.548				206.104				277.278
		p lsolve(A g)													a exp p1										p2						p3
			a 1.2									0.4							0.6

Ответ: a 1.2, 0.4, 0.6

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.17 Mб19Математические основы теории систем.-2.pdf
#
05.02.20232.18 Mб14Математические основы теории систем..pdf
#
05.02.2023974.28 Кб11Математический Аппарат Теории Сигналов и Систем.-1.pdf
#
05.02.2023435.96 Кб5Математический аппарат цифровой микроэлектроники..pdf
#
05.02.20235.2 Mб28Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad.-1.pdf
#
05.02.20236.12 Mб37Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в MATHCAD..pdf
#
05.02.2023198.97 Кб7Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-1.pdf
#
05.02.2023582.34 Кб11Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-2.pdf
#
05.02.20232.32 Mб16Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-3.pdf
#
05.02.20235.16 Mб62Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf
#
05.02.20233.3 Mб9Математическое и компьютерное моделирование объектов и систем управления..pdf