4.4. Общая рента

4.5. Вечная» годовая рента

4.6. Объединение и замена рент

4.6.Примеры решения типовых задач в Mathcad

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в MATHCAD..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

6.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	59
4) заданы	A,n,i , тогда для определения R
причем последняя величина известна, значит		R

имеем уравнение

A/ a(n,i) ;

R a(n,i)

5)заданы S,n,i — действуем аналогично п. 4;

6)хотя процентная ставка неуправляема организатором ренты, можно

задуматься о желаемой процентной ставке. Т.е. пусть заданы

R, A,.n , надо

подобрать процентную ставку i . Это посложнее, чем в предыдущих задачах. Для

определения	i	имеем уравнение	A R [1 (1 i)	n	] / i , но решить это

уравнение аналитически невозможно, поэтому его надо решать численными методами.

Пусть платежи поступают p		раз в году через равные интервалы, и суммарный
годовой платеж равен	R , так что единичный платеж равен R / p ; проценты
начисляются m раз	в году	также через равные интервалы. Рассмотрим
подробно 1-й год.

Рисунок отражает ситуацию при

= 4,

= 2 (платежи вносятся в моменты,

обозначенные *, начисления процентов происходят в моменты + , т.е. в середине года и в конце года).

Необходимы некоторые уточнения. В очередной момент начисления проценты начисляются по ставке сложных процентов на каждый более ранний платеж с

учетом момента его поступления.			Так как k -й платеж отстоит от конца	на
(n k / p) лет,	то	на него будет	произведено [(n k / p) m] начислений	по
полной ставке	i / m	([a] — целая часть a ) и, возможно, еще одно начисление

по неполной ставке, и его частичный вклад в наращенную сумму ренты составит

S	(R / p) (1 i / m)	(n k / p)m		.	Сумма всех таких частичных вкладов и
S	(R / p) (1 i / m)			.	Сумма всех таких частичных вкладов и
k
составляет наращенную сумму ренты
		n p			n p
	S Sk (R / p) (1 i / m)(n k / p)m .
		k 1			k 1
	Здесь n p — количество поступлений платежей.
	Изменяя порядок суммирования, сумму можно записать так:
			n p 1			m	k
			n p 1				k
		S	(R / p) (1 i / m) p .
			k 0
	Ясно, что слагаемые этой суммы есть члены геометрической прогрессии с

Найдя наращенную величину ренты, без труда можно найти

современную величину ренты
A	S
A	(1 i / m)nm .	(4.3)

Из этой общей формулы можно получить формулы для подсчета наращенной величины частных рент: когда платеж один раз в году, а начислений процентов несколько раз; когда, наоборот, начисление

процентов только раз в году, зато платежей несколько раз, и т.п.

Например, пусть

p — число платежей в году, а проценты начисляются

один раз, т.е. m = 1, тогда наращенная величина такой ренты есть

(1 i)

1 (1 i)

S (R / p)

(4.4)

1/ p

(1 i)

Или, пусть в году один платеж ( p

= 1), зато проценты начисляются m

раз в году, тогда наращенная величина такой ренты есть

(1 i / m)

S R

(4.5)

(1 i / m)

Весьма часто m p , т.е.

число платежей в году и число начислений

процентов совпадают, тогда из общей формулы (2) получаем



(R /

(1 i / m)	nm

(i / m)
1 (1 i / m)
(i / m)

1	,

nm

(4.6)

(4.7)

Формулу (4.6) легко получить из формулы (4.1) для конечной годовой

ренты, положив в ней R / m вместо	R	с учетом того, что число платежей
есть nm , а не n .

Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты

бесконечна, но современная величина равна		A R / i		. Докажем это.
Из формулы (4.1) для конечной годовой ренты имеем:
	1 (1 i)		n
A R a(n,i) R			.
	i

Перейдем в этой формуле к пределу при n и получим R / i .

Пример 4.5. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%?

Решение. Эта выкупная цена есть современ ная величина всех будущих арендных платежей и равна A R / i 10000 / 0.05 = 200 000

долл. Между прочим, это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с $200 000, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку.

Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

Пример 4.6. Найдем ренту-сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая — 8 лет и

платежом 800. Годовая ставка процента 8%.
По таблицам находим коэффициенты приведения:			a(5,8) = 3,993,
a(8,8) = 5,747. Далее, A = 1000 • 3,993 = 3993,	A	= 800•5,747=4598.
1	2

Значит, у ренты-суммы современная величина

A = 8591.

Теперь можно задать либо длительность ренты-суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится. Такие задачи рассмотрены в п.

4.3.

Примерно так же решается и вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами.

первым членом

R / p , знаменателем (1 i / m)m / p и числом членов n p . Значит

их сумма равна

(1 i / m)nm 1

i / m)m / p 1

Задание 1. В банк помещен депозит в размере

= 5000 руб. По этому

депозиту в первом году будет начислено i1	= 10% , во втором	- i2 = 12%, в
третьем - i3 = 15%, в четвертом и пятом - i4	i5 = 16% годовых.	Сколько будет

на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке i = 13%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентной ставки.

Решение. Формула наращения по схеме сложных и простых процентов для переменной ставки имеет вид

	а)	S A(1 i )		n	(1	i	)	n	(1 i	)	n	(1	i	)	n	,
	а)	S A(1 i )		1	(1	i	)	2	(1 i	)	3	(1	i	)	4	,
			1	1		2		2	3		3		4		4
			1			2			3				4
			4
		S A(1	k k
	б)	S A(1		n i		) .
			k 1
где	ni	— i -й			период				начисления				процентов

nni 5 ).

Вводим исходные данные

(

n	n	n	1, n
1	2	3	4

A 5000		10%		1
A 5000		12%		1
	i	12%	n	1
	i	15%	n	1	i1 13%	n1 5
		15%		1	i1 13%	n1 5

		16%		2

Решение MathCAD для простой ставки

				4
S A		1		i	n		S 8.45	3
S A		1		i	n	k		3
				k		k		10
				k 1
	P 1
Given
S	P (1		i1 n1)
P Find(P)							3
					P 5.121212 10

Решение MathCAD для сложной ставки

	4	k	3
		k	3
			n
S1 A		1 i	k
S1 A		1 i
	k 1		S1 9.53223 10
	k 1

P1 1
Given
S1	P1 (1	i1 n1)
P1 Find(P1)		P1	3
		P1	5.777109 10

Ответ: в конце 5-го года на счету будет 8450 руб. либо 9352 руб., если начисление процентов проводится по схеме простых процентов либо по схеме сложных процентов. Для получения суммы 8450 руб. в конце пятого года при ставке i = 13% необходимо в начале периода поместить депозит в размере 5121 руб. (по схеме простых процентов) либо 5 173 руб. руб. (по схеме сложных процентов) для получения суммы 9352 руб..

63
Задача 2. Вычислить размер платежа n - годичной ссуды покупки квартиры
за A рублей с годовой ставкой i процентов и начальным взносом q процентов.
Сделать расчет для ежемесячных выплат.
Расчет провести для следующих данных: n = 20 лет;	A = 1 400 000 руб.; i	= 18%;
q = 30%.
Расчеты выполнить для сложной процентной ставки.

Решение. Сумма, которую нужно выплатить по ссуде, равна

A q A A (1 q) .

Рассчитаем ежегодный платеж R выплаты ссуды из уравнения

1 (1 j / m)

n m

A (1

A (1 q) R

R a( p, n, j / m) , отсюда R

. Здесь

(1 j / m)

m / p

a( p, n, j / m)

p = 12 (количество платежей в год), m = 12 (количество начислений процентов в

год).

Вводим исходные данные.

A 1400000

j 18%

q 30%

n1 20

p 12

m 12

Решение MathCAD

n1 m

a 64.795732

(1 q)

R 1.512445 10

Ответ. Ежемесячные выплаты составят 15 124, 45 руб.

Задача 3. Семья хочет накопить $12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка процента в банке 7%. Как долго ей придется копить? Решение. Для решения данной задачи используем формулу наращенной величины ренты.

S R (1 i) ((1 i)n 1) i

Отсюда:

ln(

S i

R(1

ln(1 i)

Запишем исходные данные:

S 12000

R 1000

i1 7%

Решение MathCAD

i1)

ln(1 i1)

n1 8.564235

(1 i1)

S1 R

i1)

S1 1.281645 10

Ответ. Семье придется копить 9 лет. К концу 9-го года на счету будет 12816,5 руб.

Задача 4. Заем взят под

=16%

годовых, выплачивать осталось

ежеквартально по 500 д.е. ( R1	=500 д.е.) в течение
ситуации в стране процентная	ставка снизилась до

=2 лет. Из-за изменения

i2	=6% годовых. В банке

согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты? Расчеты провести для сложной процентной ставки. Решение. Для решения этой задачи необходимо записать современную величину

невыплаченной суммы по ставке i1

=16% и приравнять современной величине

потока платежей по ставке i2

=6%.

1 (1 i

/ m) n m

1 (1 i

/ m) n m

Имеем R1

, где m = 4 (количество

(1 i

/ m)

m / p

(1 i

/ m)

m / p

начислений процентов в год), p = 4 (количество платежей в год). Из этого уравнения находим размер платежа R2 .

Исходные данные для MathCAD

R1 500	n 2	m 4	p 4
i1 16%	i2	6%

Решение MathCAD

R2 1

Given

n m

i1 p

i2 p

R2 Find(R2)	R2	449.693578

Ответ. Размер новой выплаты составит 449,7 руб.

Задача 5. Необходимо учесть долговое обязательство на сумму 50 000 д.е. за 4 года до погашения. Банк для учета обязательства применяет сложную процентную ставку 5 % годовых. Проценты могут начисляться 1, 2 или 4 раза в год. Указать условия договора, по которому это обязательство может быть учтено.

Решение. В данной задаче необходимо найти современную величину суммы S , которая через 4 года составит 50 000 д.е. в зависимости от количества

начисления процентов в год. Расчет проводим по формуле	P
	(1
j - годовая ставка, m - количество начислений процентов в год.

Исходные данные

S
j / m)	n m
j / m)

, где

S 50000			i1 5%
n1 4
Решение MathCAD
P1(m1)		S		4
P1(m1)			n1 m1	4
		i1	n1 m1	P1(1) 4.113512 10
	1	i1		4
	1	m1		4
		m1		P1(2) 4.103733 10
				4
				P1(4) 4.098732 10

Ответ. Обязательство будет учтено на сумму 41 135 д.е. при начислении процентов один раз в год, на сумму 41037 д.е. – при начислении процентов два раза в год, на сумму 41987 д.е. – при начислении процентов четыре раза в год.

Задача 6. Как изменяется срок окупаемости проекта при изменении величины инвестиций, годовых доходов, ставки процента? Построить графики и дать объяснение.

Решение. Рассмотрим следующую модель инвестиционного проекта. Инвестиции в проект в размере K осуществляются единовременным платежом в начале срока, доход R поступает регулярно один раз в год в течении n лет, процентная

ставка равна

. Срок окупаемости в этом случае рассчитывается по формуле

ln(1	K	j	)
ln(1	R		)
n	R
ln(1	j)

Исходные данные

K 500

R 100

j 10%

Решение MathCAD

Зависимость срока окупаемости от размера инвестиций

	ln	1		x	j
	ln	1		R
n1(x)				R
n1(x)	ln(1 j)
	ln(1 j)
			10
	n1(x)		5

0	200	400
	200	400
		x

Зависимость срока окупаемости от ставки

	ln		1		x K
n2(x)					R

		ln(1		x)

n2(x)

0.05 0.1 x

Зависимость срока окупаемости от величины годового дохода

	ln		1	j K
				x
n3(x)
		ln(1 j)

n3(x)

0	200	400
	200	400
		x

Ответ. Срок окупаемости с ростом объема инвестиций увеличивается, так как для окупаемости инвестиций требуется большее время получения дохода от проекта. С ростом процентной ставки срок окупаемости растет. С экономической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если для инвестиций берется

ссуда в банке под процентную ставку

, то с ростом ставки растут проценты по

ссуде, и, следовательно, растет долг заемщика. Поэтому требуется большее

время получения дохода от проекта для погашения ссуды.

С ростом дохода от проекта срок окупаемости уменьшается

Задача 7. Проверьте план погашения основного долга равными годовыми

уплатами, если величина займа

составляет 600 д.е., а процентная ставка –

8%.

Уплаты

168.0

158.4

148.8

139.2

129.6

Годы

Решение. Величина займа

600 д.е.

погашается равными долями

течении 5 лет. Проценты по долгу выплачиваются каждый год на остаток долга.

Таким образом, размер срочной уплаты в году с номером t	равен
Yt d (D (t 1)d ) i , где d D / n , n – срок долга.
Исходные данные

D 600

n1 5

j 0.08

Решение MathCAD

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.17 Mб19Математические основы теории систем.-2.pdf
#
05.02.20232.18 Mб14Математические основы теории систем..pdf
#
05.02.2023974.28 Кб11Математический Аппарат Теории Сигналов и Систем.-1.pdf
#
05.02.2023435.96 Кб5Математический аппарат цифровой микроэлектроники..pdf
#
05.02.20235.2 Mб37Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в Mathcad.-1.pdf
#
05.02.20236.12 Mб38Математическое и имитационное моделирование экономических процессов в MATHCAD..pdf
#
05.02.2023198.97 Кб7Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-1.pdf
#
05.02.2023582.34 Кб17Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-2.pdf
#
05.02.20232.32 Mб16Математическое и имитационное моделирование экономических процессов.-3.pdf
#
05.02.20235.16 Mб64Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf
#
05.02.20233.3 Mб9Математическое и компьютерное моделирование объектов и систем управления..pdf