Теоретические основы электротехники. Часть 1. Установившиеся режимы в линейных электрических цепях

ТЕМА 2. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

2.1. Понятие гармонической функции

Если значение функции времени a(t) изменяется по синусоидальному или косинусоидальному закону

то ее называют гармонической.

Наибольшее значение гармонической функции Am назы-

вается амплитудой. Ее размерность совпадает с размерностью самой функции.

Аргумент t называется мгновенной фазой (фазой). Величина , равная значению мгновенной фазы при

t=0, называется начальной фазой. Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени со скоростью

d dt , которая называется угловой частотой и выражает-

ся в рад/с.

Функция времени называется периодической, если ее

значения повторяются через определенные промежутки времени. Наименьший промежуток времени T , через который наблюдается повторение значений функции, называется пе-

риодом.

Таким образом, если a(t) – периодическая функция, то для нее справедливо:

Определим период и частоту гармонической функции.

31

Из (2.3) находим: T 2 ; f 2 .

При построении временных диаграмм (графиков) гармонических функций удобно откладывать по оси абсцисс не время t, а величину ωt (рис. 2.1).

a(t)

ωt

Ψ

ωt=2π

Рис. 2.1.

Если фазы двух гармонических функций a1(t) и a2(t) различаются на φ = θ1 – θ2 = Ψ1 – Ψ2 > 0, то говорят, что эти функции сдвинуты по фазе, и a1(t) опережает по фазе функцию a2(t). Если фазы двух гармонических функций a1(t) и a2(t) различаются на φ = θ1 – θ2 = Ψ1 – Ψ2 < 0, то говорят, что a1(t) отстает по фазе от функции a2(t).

Под средним значением периодической функции a(t) = Am sin ωt понимают ее среднее значение за полпериода

Cреднее значение гармонического тока или напряжения в

раз меньше его амплитуды:

2

Ac p 2 Am 0,637 Am .

32

Действующим значением периодической функции a t

называется среднеквадратическое значение этой функции за период T :

Соответственно еще одна форма записи гармонической функции:

a t A2 sin t .

2.2. Метод комплексных амплитуд. Комплексные числа и основные операции над ними

Символический метод комплексных амплитуд (символи-

ческий метод) основан на представлении гармонических функций времени a(t) в форме комплексных чисел.

Напомним, что комплексным числом A называется выражение вида

которое на комплексной плоскости отображается в виде точки с абсциссой A' (вещественная часть) и ординатой A" (мнимая часть) (рис. 2.2, а).

Ось абсцисс, по которой откладывается вещественная часть A, называется действительной (Re), а ось ординат, по которой откладывается мнимая часть A, – мнимой (Im).

Каждой точке A комплексной плоскости может быть поставлен в соответствие вектор A (рис. 2.2, б). Длину вектора A называют его модулем

A A 2 A 2 ,

33

а угол α, образуемый вектором A с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа

arctg AA .

Вещественную и мнимую части комплексного числа можно определить через модуль и аргумент:

A' = Re(A) = |A| cos α; (2.10) A" = Im(A) = |A| sin α.

Рис. 2.2.

Подставляя далее (2.10) в выражение (2.7), можно перейти от алгебраической записи комплексного числа к тригонометрической:

2.3. Комплексные изображения гармонических функций

Каждой гармонической функции a(t) можно поставить в соответствие комплексное число A, называемое мгновенным

комплексом гармонической функции:

A = Am ej(ωt+Ψ) = Am [cos(ωt + Ψ) + j sin(ωt + Ψ)], (2.13)

модуль которого равен амплитуде гармонической функции Am, а аргумент – ее фазе θ = ωt + Ψ.

Значение мгновенного комплекса A при t = 0 называется

34

С использованием понятия комплексной амплитуды выражение для мгновенного комплекса может быть преобразовано к виду

ную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки со скоростью ω (рис. 2.2). Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на ejωt, начинает вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

Пример 2.1. Комплексная амплитуда гармонического

Основные действия с комплексными изображениями гармонических функций. При сложении (вычитании) комплексных чисел их записывают в алгебраической форме и отдельно складывают (вычитают) их действительные и мнимые части. Например, если

В комплексной форме дифференцирование по времени соответствует умножению, а интегрирование – делению комплексных значений рассматриваемых функций на j , поэтому

35

где XL и XC – индуктивное и емкостное сопротивления; ZL и ZC – соответственно индуктивное и емкостное сопротивления в комплексной форме. Для резистивного элемента напряжение в комплексной форме

uR Ri RI m Z R I m U Rm ,

где ZR = R – вещественная величина.

Замечание. Часто в практических расчетах удобно пользоваться действующими значениями величин, тогда

UR = ZR I, UL = ZL I, UC = ZC I.

Пример 2.2. Определить эквивалентное комплексное сопротивление двухполюсника относительно входных зажимов

а) Z = 0,15 ej0º кОм; б) Z = 0,15 e–j90º кОм; в) Z = 0,15 ej90º кОм.

36

Если сдвиг фаз между напряжением и током на элементе равен 0, 2 или 2 , то такой элемент будет соответственно

резистивным, индуктивным или емкостным.

Отметим, что законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме выполняются и для комплексного представления цепи. Также справедливы и эквивалентные преобразования (сложение последовательных сопротивлений и параллельных проводимостей в комплексной форме).

2.4. Анализ RLC-цепей при гармоническом воздействии

Последовательная RLC-цепь. Рассмотрим последовательную RLC-цепь, находящуюся под гармоническим воздействием (рис. 2.5, а). Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексной схемы замещения

(рис. 2.5, б):

U = UR + UL + UC; I = IR = IL = IC; (2.15)

UR = ZR IR ; UL = ZL IL ; UC = ZC IC,

где ZR = R; ZL = jωL; ZC = 1/jωC – комплексные сопротивления входящих в цепь элементов. Решая систему (2.15) относительно тока I, получим:

Здесь Z – комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи (рис. 2.5, в). Оно определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой воздействия:

37

Переходя от алгебраической формы записи к показательной, находим модуль Z и аргумент φ входного сопротивления:

Из выражений (2.17) следует, что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между линейными составляющими комплексных сопротивлений емкости и индуктивности. При XL > |XC| входное сопротивление имеет

резистивно-индуктивный характер, и 0 2 (рис. 2.6, а).

Если XL < |XC|, то входное сопротивление имеет резистивно-

емкостный характер, и 0 (рис. 2.6, б). При XL = |XC| 2

мнимые составляющие индуктивного и емкостного сопротивлений взаимно компенсируются, и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер, причем 0

лучаем, что сдвиг фаз между напряжением и током равен аргументу сопротивления.

Изобразим векторные диаграммы для тока и напряжений цепи, соответствующие различным соотношениям между XL

и |XC| (рис. 2.6, г – е).

Пример 2.4. Выразить входное сопротивление и ток последовательной RLC-цепи (рис. 2.5, а) в комплексной форме

38

ническое напряжение. Этой цепи соответствует комплексная схема замещения (рис. 2.7, б).

Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной фор-

входящих в цепь элементов.

Решив систему уравнений (2.18) относительно тока I, по-

Здесь Y – комплексная входная проводимость параллельной RLC-цепи (рис. 2.7, в), которая определяется параметрами входящих в нее элементов и частотой внешнего воздействия:

Переходя от алгебраической формы записи к показательной, найдем соответственно модуль Y и аргумент θ входной проводимости RLC-цепи:

Анализ выражений (2.21) показывает, что характер входной проводимости зависит от соотношения между реактив-

40