Численные методы

Ri

M 2

xi

( x xi 1/ 2 )2 dx

M 2

(xi xi 1/ 2 )3

M 2

h3 .

2

6

24

xi 1

n

M 2

h3n

M 2 (b a)

h 2

Так как R Ri

, то

R

( hn b a ).

24

24

i 1

b

n

xi

I f ( x )dx i 1

g i ( x )dx.

a

xi 1

xi 1 , xi

Рассмотрим случай, когда в качестве функции gi на отрезке

b

n

xi

I f (x)dx

Ii , где

I i

f ( x)dx.

a

i 1

xi 1

На каждом отрезке xi 1, xi

b

n

Рассмотрим

чувствительность общей

формулы

f (x) Ai f (xi )

a

i 0

к погрешностям задания функции f.

Очевидно, что

b

74

( I * )

I I *

( f ( x) f * ( x)dx

a

n

n

n

A f ( x )

*

*

.

A f ( x )

При больших

m

среди весов формулы (5.10) появляются отрица-

n

тельные, и значения

i 0

A

становятся большими. При m

10 число

A ( f ).

i

i

i

i

i

обусловленностиi

v

3,1(b

a ) , при m

30

число v

560 (b

a ) . В силу

плохой обусловленности

эти формулы при

m 10 не используются.

i 0

i 0

i 0

5.4. Квадратурные формулы Гаусса. Полиномы Лежандра

b

n

Квадратурная формула

a

f ( x )dx

Ai

f ( xi ) , построенная интегриро-

i 0

ванием интерполяционного многочлена степени n с фиксированными уз-

лами x0, x1, …, xn, точна для всех многочленов степени n. Рассмотрим зада-

Таким образом,

абсолютное

число

чу построения квадратурной формулы, точной для многочленов наиболее

высокой степени, чем n,

при заданном количестве

(n

1)

узлов за счет вы-

бора з .

обусловленности

равно

– положительные, то

n

n

n

Ai

Ai b a

v

Ai

i 0

i 0

. Все квадратурные формулы точны для многочленов нулевой

i 0

степени и поэтому

b

n

b a 1dx Ai .

a

i 0

b

2

n

i

i

f ( x)dx

b a

A f (( a

b) / 2

t

(b

a) / 2) .

(5.12)

a

i 0

1

n

f (t)dt Ai f (ti ) .

(5.11)

i 0

1

t 0 , t1 , ..., tn 1 1, 1

Для квадратурной формулы Гаусса справедлива следующая оценка

погрешности:

b

n

4

f (x)dx Ai f (xi )

(n 1)!

M 2n 2 (b a)2n 3 .

(2n 3) (2n

2)! 3

a

i 0

4 n 10

осуществляется с

помощью

замены

переменной

x (a b) / 2 t (b a) / 2 и имеет вид

формула Гаусса на интервале 1,1

В результате

b

квадратурная

a

2

f ( x )dx

b a

[5 / 9 f ((a

b) / 2

3 / 5)

8 / 9 f ((a b) / 2) 5 / 9 f ((a b) / 2

3 / 5)].

с тремя узлами запишется в виде

Квадратурная формула Гаусса с четырьмя узлами на произвольном

отрезке a, b

1

2

f (t)dt Ai f (ti ) 5 / 9 f (

3 / 5) 8 / 9 f (0) 5 / 9 f ( 3 / 5).

i 0

1