Численные методы
..pdfy f (x, y(x)),
Вместо производных первого порядка для сеточных функций вводятся разностные отношения:
L |
y |
|
yi 1 yi |
|
|||
h |
i |
|
h |
|
|
|
i0 121 ( y ( xi 1i h) y ( xi 2i h))h 2 .
ui 1 ui f (xi ,ui )h,
Тогда из (6.15) следуют рекуррентные неравенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zi 1 |
|
q |
|
z i |
|
|
|
|
|
|
|
C h, |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
которые дают цепочку оценок:
z0 0 , z1 
C h,
z2 (1 q)
C h,
z3 (1 q q2 )
C h,
......................................
zn (1 q q2 ... qn 1 )
C h,
где 1 q q 2 ... q n 1 nq n ne Мhn ne М (b a) .
Для каждой погрешности zi получили оценку
zi nhe М (b a) 
C (b a)eМ (b a) 
C ,
с учетом рассматриваемой нормы оценка погрешностирешения примет
вид |
|
|
|
|
|
|
|
что позволяет переписать оценку (6.1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
C |
1 |
(b a )e М ( b a ) М 2 h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
М (b a) |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погрешность ре |
||
|
|
|
|
|
|
z |
Неравенство(b a)e |
(6.17) |
|
.показывает, что (6.16) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулю со скоростью h. В связи с этим метод Эйлера назы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
первого порядка |
точности относительно шага h. Геом |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
страция явного метода Эйлера представлена на рис. 24. |
||||||||||||||
Из оценки (6.16) следует, что чем лучше разностное уравнение ап- |
|||||||||||||||||||
проксимирует дифференциальное, тем меньше погрешность решения. |
|||||||||||||||||||
Для погрешности аппроксимации в силу первого неравенства (6.10) |
|||||||||||||||||||
имеем |
|
C |
|
1 |
М 2 h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.3. Метод Рунге – Кутты
Из оценки (6.17) метода Эйлера можно сделать вывод, чтобы повысить точность метода, нужно улучшить аппроксимацию дифференциального уравнения разностной схемой. Запишем для решения уравнения (6.1) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
yi 1 y(xi h) yi y (xi )h 12 y (xi )h 2 16 y (xi )h3 ...
h3
:
,и k 0
Предположим, что для погрешности явного одношагового метода справедливо следующее представление для оценки погрешности:
z
C Ch k o(hk ) ,
где С 0
6.4. Метод Адамса
Из уравнения (6.1) находим
xi 1
yi 1 yi f ( x, y( x)dx
xi