Численные методы

di

2

S ( x) bi ci ( x xi )

2

( x xi )

,

(4.21)

1, ..., n – 1.

(4.25)

y

i 1

y

i

y

i

y

i 1

h c

i 1

2(h h

)c

i

h c

6

,

i

i i 1

i 1 i 1

hi 1

hi

b

n

f (x)dx

Ai f ( i ) .

(5.1)

a

i 0

Здесь

i

– некоторые точки из отрезка a,b – узлы квадратурной

ла, называется квадратурной суммой.

Если для любого многочлена

степени не выше m квадрату ная

формулы; A

–

формула (5.1) дает точное значение интеграла

числовые коэффициенты, называемые весами квадратур-

b

n

Pk ( x)dx i 0 Ai Pk ( i ) ,

i

a

то говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m.

ной формулы.

Рассмотрим простейшие квадратурные формулы.

Для этого разобьем отрезок

a, b на элементарные отрезки xi 1 , xi

68

y

M3/2

M1/2

Mn 1/2

Приблизим

на

каждом

элементарном отрезке

площадь криволи-

0

a=x0

x1 x2

xn=b

x

Рис. 19

нейной трапеции площадью прямоугольника, с основанием h xi xi 1

и высотой

fi 1/ 2

,

(рис.

19). Площадь каждого элементарного прямоуголь-

ника I

hf

тогда просуммировав по всем элементарным отрезкам,

i

i 1 / 2

Здесь все – весы квадратурной формулы (5.2) равны h.

n

1

n

Иногда используют формулы

пр h fi ,

I

пр h fi , I

(5.3)

для площади криволинейной трапеции имеем квадратурную формулу пря-

i 0

i 1

называемые соответственно составным квадратурными формулами л -

моугольников:

вых и правых прямоугольников (рис. 20, а и б).

y

y

M2

Mn

M1

M1

M0

Mn 1

n

n

I прh

I

Ii

h fi 1 / 2 .

(5.2)

а

i 1

б

i 1

0 a=x0 x1 x2

xn=b x

0 a=x0 x1

x2

xn=b x

Рис. 20

Ai

нейной трапеции площадью трапеции, с высотой h xi xi 1

и основа-

ниями fi и fi 1 , соединив точки M i 1 (xi 1, fi 1 ) и M i (xi , fi ) (рис. 21).

Площадь каждой

элементарной криволинейной

трапеции

Ii h( fi 1 fi ) / 2 , тогда

просуммировав

по вс

ем элементарным отрезкам,

I I трh

f

0

f

n

f

0

f

n

n 1

h

f1 f2

... fn 1

h

fi

. (5.4)

2

2

2

i 1

Проинтегрировав (5.5) по отрезку

x

2 j 2

, x

, получим

2 j

x2 j

b a

I j

L2 (x)dx h / 3 f (x2 j 2 ) 4 f (x2 j 1 )

f (x2 j ) ,

h

.

x2 j 2

n

Тогда квадратурная формула Симпсона или парабол примет вид

n / 2

h

n / 2

I I j IСимh

f ( x2 j 2 ) 4 f ( x2 j 1 ) f ( x2 j )

j 1

3 j 1

b a

f (a) 4 f ( x ) 2 f ( x

) 4 f ( x

) 2 f ( x

) ...

2

3

4

3n

1

2 f ( xn 2 ) 4 f ( xn 1 ) f (b)}.

I I

M (b a ) h

гладкая и

Теорема

руема на

. Тогда для составных квадратурных форму

следующие оценки погрешно

ков и трапеций справедливы(5.6)

24

.

Напомним, что n – четное число.

Пусть функция f

a, b