Численные методы
..pdf51
Выберем шаг спуска 0 из условия
Ф(0,5 8, 25 0 ;0,5 6, 75 0 ) Ф(0,5; 0,5) .
Примем |
0 0,01, |
тогда |
Ф(0,5825; 0,5675) 4,470065 |
и Ф(0,5; 0,5) 5,625. Поэтому можно положить x1 = (0,5825; 0,5675). |
|||
Следующее направление спуска найдем по формуле |
|||
|
p1 grad Ô (x1 ) 8,33589 i 7, 05970 j . |
||
Возьмем |
1 0,01, тогда |
Ф(0,66586; 0,63810) 3, 28805. Поэтому |
|
можно положить x2 (0, 66586; 0, 63810) .
Следующее направление спуска найдем по формуле
p2 grad Ô (x2 ) 7,98563 i 6,99152 j
и т. д.
При вычислениях методом спуска уже при небольшом количестве шагов происходит довольно быстрое приближение к решению системы, но затем скорость сходимости приближений к решению системы заметно уменьшается. За сорок итераций метода спуска с параметром 0,01 получили менее точное решение x 1,00002 , y 0,99997 , чем при вычисле-
нии методом Ньютона за четыре итерации при хорошем начальном приближении.
На практике часто используют комбинацию методов: сначала метод спуска для определения начального приближения, а затем метод Ньютона для быстрого нахождения решения системы.
a,b
Однозначная разрешимость следует из хорошо известного факта, что определитель этой системы (определитель Вандермонда)
1 |
x |
... |
xn |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
x |
... |
xn |
|
Ï (x x |
|
) 0. |
|
|
1 |
|
1 |
j |
||||
... ... |
... |
... |
|
0 j i n |
i |
|
||
|
|
|
|
|||||
1 |
xn |
... |
xnn |
|
|
|
|
|
l i ( x )
Ln ( x) l0 ( x) l1( x) ... ln ( x),
a, b
L (x) y |
|
(x x1 )( x x2 ) |
y |
(x x0 )( x x2 ) |
y |
|
( x x0 )( x x1 ) |
. |
0 |
|
|
2 |
|
||||
2 |
2h2 |
1 |
|
2h2 |
||||
|
|
|
( h2 ) |
|
|
|||
n 1
yi f ( xi )
2 y i y i 1 y i ( y i 2 y i 1 )
yi yi 1 yi
Затем, проведя аналогичные выкладки, можно получить a |
3 |
3 y0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае выражение для аk |
будет иметь вид |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
a |
k |
k y0 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k!hk |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первая интерполяционная формула Ньютона записывается в форме |
||||||||||||||
P ( x) y |
|
|
y |
0 ( x x |
|
) |
|
2 y |
0 |
( x x |
|
)( x x ) ... |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||
n |
|
h |
|
|
|
2!h2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n y0 ( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 ). n!hn
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка ин-
терполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона,
которая получается, если искать интерполяционный многочлен в виде:
Pn ( x) a0 a1 ( x xn ) a2 ( x xn )( x xn 1 ) ...
an ( x xn )( x xn 1 )...( x x1 ).
Выражение для коэффициентов аk будет иметь вид
ak k yn k .
k!h k
f (x)
5. При n 0 max Тn ( x) 1. Если n 1
1,1
В силу свойств 4…6 многочленов Чебышева минимальное уклонение многочлена
n 1 (x) (x x0 )( x x1 )...( x xn )
дает набор узлов
xk cos |
(2k 1) |
, |
k 0, 1, ..., n, |
|
2(n 1) |
||||
|
|
|
т. к. в этом случае n 1 (x) Т n 1 (x).
|
|
|
|
|
|
|
М n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что при этом выборе |
(Pn ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(n 1)!2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Легко увидеть, что в этом |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
( x) |
|
b a |
n 1 (t |
t |
)(t |
|
t )...(t |
t |
) , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Pn ) |
|
|
М n 1 |
|
|
b a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть теперь отрезок интерполяции a,b произволен. |
(n |
|
1)!2n |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a b |
t |
b a |
, t 1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i 1 |
, x i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
он приводится к стандартному отрезку 1,1