Численные методы

max

Тогда

С геометрической точки зрения решение системы есть точка пересечения двух прямых с близкими угловыми коэффициентами, поэтому даже незначительная погрешность в задании положения этих прямых существенно меняет положение точки пересечения (рис. 11).

2.2. Метод Гаусса

Метод Гаусса относится к прямым методам, позволяющим получить решение системы после выполнения конечного числа операций. Метод Гаусса состоит из двух основных этапов, называемых прямым ходом и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду. Затем на втором этапе осуществляется последовательное отыскание неизвестных.

Прямой ход состоит из n – 1 шага исключения. На первом шаге во всех уравнениях системы (2.1), кроме первого, исключается переменная x1.

Здесь

Выделяем укороченную систему

................................................

Продолжая далее процесс исключения, после n – 1 шага редуцируем систему к треугольному виду с верхней треугольной матрицей:

24

Обратный ход состоит в последовательном(2.12) определении неизвестных из системы (2.13) в обратном порядке.

. (2.14)

Описанная выше процедура решения системы может оказаться не-

Приступая к первому шагу прямого хода, найдем в первой строке

устойчивой по отношению к случайнымматрицыошибкаммаксимальный. Чтобыпо модулю коэффициентизбежатьa1 j . этогоПереставляя, пер-

выйбольшийстолбецпо модулю элемент первой строкис. Благодаряj-этому,элементысделаем ведущим элементом a11 первого шага наи-

, вычисленные по (2.12), будут удовлетворять неравенству (2.14).

естественно потребовать выполнения условияc1 j

cij 1

det A ( 1)k a11a122 ...annn 1,

2.3. Метод прогонки

Системы с трехдиагональными матрицами возникают при решении задач математической физики, интерполяции сплайнами и других вычислительных задачах. Метод прогонки относится к прямым методам и является эффективным методом решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами вида

i n

y

x

29

n

Для того чтобы отображение F: yi bij x j ci было сжимающим,

i, j 1

достаточно выполнения одного из следующих условий: 1) в пространстве с метрикой 1 :

Приведем алгоритм решения системы методом Якоби.

1.Привести систему (2.1) к виду с преобладающими диагональными элементами.

2.Разделить каждое уравнение на диагональный элемент.

3.Проверить выполнение условий (2.26)–(2.28) и выбрать метрику, для которой выполняется условие сходимости итерационного процесса.

4.Реализовать итерационный процесс (обычно за начальное приближение берется столбец из свободных членов).

Пример 2. Решить систему уравнений методом Якоби

18 x1 3x2 4x3 2x4 20, 3x1 19 x2 9x3 5x4 25,

4x1 9x2 23x3 7 x4 112, 2x1 5x2 7 x3 24 x4 164.

с точностью 0,00001 .

30

Заметим, что матрица коэффициентов системы имеет диагональное преобладание.

Приведем исходную систему к виду x Bx c , пригодному для итераций, для этого в каждом i-м уравнении исходной системы выразим xi .

i n

2. В пространстве с метрикой 2 x y 2 ( xi yi 2 )1/ 2 :

i 1

Выберем метрику

i n

2 x y 2 ( xi yi 2 )1/ 2 с 0,905251.

i 1

В качестве начального приближения x0 colon (20, 25, 112, 164)

возьмем столбец из свободных членов исходной матрицы. Вычисление корня с точностью следует вести до выполнения неравенства

j 1