Численные методы

11

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть x1 (x0 ). При этом будем иметь x1 c (x0 ) (с) L x0 c L .

Продолжим построение итерационной последовательности. Вычислим x2 (x1 ).

При этом

x2 c (x1 ) (с) L x1 c L2 .

По индукции легко показать, что все последующие итерации не выводят последовательность xn из -окрестности корня с и удовлетворяют

неравенствам

xn c Ln x0 c Ln .

Откуда следует, что

lim xn c .

n

Замечание 1. Условие Липшица с константой L < 1 будет заведомо обеспечиваться, если предположить, что (x) на c ,c имеет не-

прерывную производную и ( x) q 1. В этом случае L = q.

Выведем апостериорную оценку погрешности, пригодную для практического применения в качестве критерия окончания.

Если значение q известно, то вычисление корня с точностью сле-

дует вести до выполнения неравенства xn xn 1 или равносиль-

ного ему неравенства

f (x) 0

Полагая в уравнении касательной y = 0, получим расчетную формулу для xn 1 метода Ньютона:

Замечание 2. Практическое применение метода Ньютона имеет две существенные трудности. Одна из них состоит в необходимости вычисления производной f (x) . Вторая трудность состоит в том, что для схо-

димости необходимо выбирать хорошее начальное приближение, попадающее в малую -окрестность корня.

Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность (рис. 8).

Пример f ( x ) x

0, 1

Замечание 3. Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью xn 1 с С xn с 2

2

Критерий окончания итераций x10 x9 выполнен, поэтому можно принять x10 0,82413 за приближение к корню с заданной точностью .

Метод секущих является двухшаговым (необходимо задать две начальные точки x0 и x1 из окрестности решения уравнения) и обладает локальной сходимостью. Геометрическая иллюстрация метода секущих приведена на рис. 9.

Пусть x0 3, тогда

x1 2,972924 , x2 2,945241 , x3 2,916919 ,

………...........

x38 0,961912 , x39 0,960759 , x40 0,960753 .

мости:

x 2 cos x

2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1.Норма матрицы. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим задачу определения решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой число неизвестных равно числу уравнений:

...............................................

an1x2 an 2 x2 ... ann xn bn .

Указанные нормы являются частными случаями более общей нормы:

соответственно при p = 1, p = 2, p = .